Billar aritmético

En matemáticas recreativas , el billar aritmético proporciona un método geométrico para determinar el mínimo común múltiplo (MCM) y el máximo común divisor (MCD) de dos números naturales . Este método utiliza reflexiones dentro de un rectángulo cuyos lados tienen la misma longitud que los dos números dados. Este es un ejemplo sencillo del análisis de trayectorias utilizado en el billar dinámico .

El billar aritmético puede utilizarse para mostrar cómo interactúan dos números. Dibujar cuadrados dentro del rectángulo formado por la longitud y el ancho de los dos números naturales permite al lector comprender mejor la relación entre ellos. Los números coprimos interactúan con cada cuadrado unitario dentro del rectángulo.

El billar aritmético es el nombre que se le da al proceso de hallar tanto el mínimo común múltiplo (MCM) como el máximo común divisor (MCD) de dos números enteros mediante un método geométrico. Su nombre se debe a su similitud con el movimiento de una bola de billar . ^{[ 1 ]}

Para crear un billar aritmético, se dibuja un rectángulo con una base del número mayor y una altura del número menor. Comenzando en la esquina inferior izquierda con un ángulo de 45°, se traza una trayectoria hasta que toca un lado del rectángulo. Cada vez que la trayectoria toca un lado del rectángulo, se refleja con el mismo ángulo (la trayectoria realiza un giro de 90° a la izquierda o a la derecha). Finalmente (es decir, después de un número finito de reflexiones), la trayectoria toca una esquina y allí se detiene. ^{[ 1 ]}

Cuando las líneas se cruzan, el camino se convierte en un zigzag formado por uno o más segmentos. En caso contrario, el camino presenta autointersecciones y consta de segmentos de longitud variable en dos direcciones ortogonales. En general, el camino es la intersección del rectángulo con una cuadrícula de cuadrados (orientados a 45° con respecto a los lados del rectángulo). ^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ]}

Para un rectángulo con forma similar a una mesa de billar , dé${\displaystyle a}$y${\displaystyle b}$como las longitudes de los lados. Esto se puede dividir en${\displaystyle a\cdot b}$cuadrados unitarios. El mínimo común múltiplo${\displaystyle \operatorname {lcm} (a,b)}$es el número de cuadrados unitarios atravesados ​​por el camino del billar aritmético o, equivalentemente, la longitud del camino dividida por${\displaystyle {\sqrt {2}}}$. ^{[ 1 ]}

Supongamos que ninguna de las longitudes de los dos lados divide a la otra. Entonces, el primer segmento del camino del billar aritmético contiene el punto de autointersección más cercano al punto de partida. El máximo común divisor${\displaystyle \gcd(a,b)}$es el número de cuadrados unitarios atravesados ​​por el primer segmento del camino hasta ese punto de autointersección. El camino pasa por cada cuadrado unitario si y solo si${\displaystyle a}$y${\displaystyle b}$son enteros coprimos — su MCD es 1. ^{[ 3 ]}

El número de puntos de rebote para el camino del billar aritmético en los dos lados de longitud${\displaystyle a}$igual${\displaystyle (a/\operatorname {gcd} (a,b))-1}$y de manera similar${\displaystyle (b/\operatorname {gcd} (a,b))-1}$para los dos lados de longitud${\displaystyle b}$. En particular, si${\displaystyle a}$y${\displaystyle b}$son coprimos, entonces el número total de puntos de contacto entre la trayectoria y el perímetro del rectángulo (es decir, los puntos de rebote más la esquina inicial y final) es igual a${\displaystyle a+b}$. ^{[ 2 ] [ 3 ]}

La esquina final del camino está opuesta a la esquina inicial si y solo si${\displaystyle a}$y${\displaystyle b}$son exactamente divisibles por la misma potencia de dos (por ejemplo, si ambos son impares), de lo contrario es uno de los dos vértices adyacentes, según si${\displaystyle a}$o ${\displaystyle b}$tiene más factores que${\displaystyle 2}$en su factorización prima . El camino es simétrico si el vértice inicial y el final son opuestos. El camino es simétrico respecto al centro del rectángulo; de lo contrario, es simétrico respecto a la bisectriz del lado que une el vértice inicial y el final. ^{[ 2 ] [ 3 ]}

Los puntos de contacto entre la trayectoria del billar aritmético y el perímetro del rectángulo están distribuidos uniformemente: la distancia a lo largo del perímetro (es decir, posiblemente rodeando la esquina) entre dos de estos puntos vecinos es igual a${\displaystyle 2\gcd(a,b)}$. Establecer coordenadas en el rectángulo de manera que el punto de partida sea${\displaystyle (0,0)}$y la esquina opuesta es${\displaystyle (a,b)}$significa que cualquier punto en el camino del billar aritmético con coordenadas enteras tiene la propiedad de que la suma de las coordenadas es par (la paridad no puede cambiar al moverse a lo largo de las diagonales de los cuadrados unitarios). Los puntos de autointersección del camino, los puntos de rebote y la esquina inicial y final son exactamente los puntos en el rectángulo cuyas coordenadas son múltiplos de${\displaystyle \gcd(a,b)}$y son tales que la suma de las coordenadas es un múltiplo par de${\displaystyle \gcd(a,b)}$. ^{[ 2 ] [ 3 ]}

Consideremos un cuadrado con lado${\displaystyle \operatorname {lcm} (a,b)}$Al mostrar múltiples copias del rectángulo original (con simetría especular), el recorrido aritmético del billar puede visualizarse como una diagonal de ese cuadrado. En otras palabras, se puede pensar en reflejar el rectángulo en lugar de los segmentos del recorrido. ^{[ 1 ]} Es conveniente reescalar el rectángulo que divide${\displaystyle a}$y${\displaystyle b}$por su máximo común divisor, una operación que no altera la geometría de la trayectoria (por ejemplo, el número de puntos de rebote). ^{[ 1 ]} Si la trayectoria está atravesando actualmente un cuadrado unitario particular (en una dirección particular), entonces no hay absolutamente ninguna duda de qué cuadrado unitario y de qué dirección se originó. ^{[ 4 ] [ 1 ]}

Una generalización

Si se permite que el punto de partida del camino sea cualquier punto del rectángulo con coordenadas enteras, entonces también existen caminos periódicos, a menos que los lados del rectángulo sean coprimos. La longitud de cualquier camino periódico es igual a${\displaystyle 2\operatorname {lcm} (a,b)\cdot {\sqrt {2}}}$. ^{[ 5 ]}

Tanto Hugo Steinhaus como Martin Gardner han analizado el billar aritmético como un rompecabezas matemático . ^{[ 6 ] [ 7 ]} Los profesores a veces utilizan el billar aritmético para mostrar el MCD y el MCM. A veces se les conoce como «Paper Pool» debido a una versión común del billar llamada pool . ^{[ 8 ] [ 9 ]} Se han utilizado como fuente de preguntas en círculos matemáticos. ^{[ 4 ]}

• Una versión web que traza las líneas temáticas del billar.