Conjetura de Arnold

La conjetura de Arnold , llamada así en honor al matemático Vladimir Arnold , es una conjetura matemática en el campo de la geometría simpléctica , una rama de la geometría diferencial . ^[1]

Sea una variedad simpléctica cerrada (compacta sin borde) . Para cualquier función suave , la forma simpléctica induce un campo vectorial hamiltoniano en definido por la fórmula ${\estilo de visualización (M,\omega )}$${\displaystyle H:M\to {\mathbb {R}}$${\estilo de visualización \omega}$ $Estilo de visualización X_H$${\estilo de visualización M}$

${\displaystyle \omega (X_{H},\cdot )=dH.}$

La función se llama función hamiltoniana . ${\estilo de visualización H}$

Supóngase que existe una familia de funciones hamiltonianas de un parámetro uniforme , . Esta familia induce una familia de campos vectoriales hamiltonianos de un parámetro en . La familia de campos vectoriales se integra en una familia de difeomorfismos de un parámetro . Cada individuo se denomina difeomorfismo hamiltoniano de . ${\displaystyle H_{t}\in C^{\infty }(M)}$${\displaystyle t\en [0,1]}$$Estilo de visualización X_H_t$${\estilo de visualización M}$ ${\displaystyle \varphi _{t}:M\to M}$${\displaystyle \varphi _{t}}$${\estilo de visualización M}$

La conjetura fuerte de Arnold establece que el número de puntos fijos de un difeomorfismo hamiltoniano de es mayor o igual que el número de puntos críticos de una función suave en . ^{[2] [3]}${\estilo de visualización M}$${\estilo de visualización M}$

Sea una variedad simpléctica cerrada. Un difeomorfismo hamiltoniano se llama no degenerado si su grafo interseca la diagonal de transversalmente. Para difeomorfismos hamiltonianos no degenerados, una variante de la conjetura de Arnold dice que el número de puntos fijos es al menos igual al número mínimo de puntos críticos de una función de Morse en , llamado número de Morse de . ${\estilo de visualización (M,\omega )}$${\displaystyle \varphi :M\to M}$${\displaystyle M\times M}$${\estilo de visualización M}$${\estilo de visualización M}$

En vista de la desigualdad de Morse , el número de Morse es mayor o igual que la suma de los números de Betti sobre un cuerpo , es decir . La conjetura débil de Arnold dice que ${\displaystyle {\mathbb {F}}}$${\textstyle \suma _{i=0}^{2n}\dim H_{i}(M;{\mathbb {F} })}$

${\displaystyle \#\{{\text{fixed points of }}\varphi \}\geq \sum _{i=0}^{2n}\dim H_{i}(M;{\mathbb {F} })}$

para un difeomorfismo hamiltoniano no degenerado. ^{[2] [3]}${\displaystyle \varphi :M\to M}$

La conjetura de Arnold-Givental , llamada así en honor a Vladimir Arnold y Alexander Givental , proporciona un límite inferior para el número de puntos de intersección de dos subvariedades lagrangianas L y en términos de los números de Betti de , dado que interseca a L transversalmente y es isotópico hamiltoniano a L . ${\displaystyle L'}$${\displaystyle L}$${\displaystyle L'}$${\displaystyle L'}$

Sea una variedad simpléctica compacta -dimensional, sea una subvariedad lagrangiana compacta de , y sea una involución antisimpléctica, es decir, un difeomorfismo tal que y , cuyo conjunto de puntos fijos es . ${\displaystyle (M,\omega )}$${\displaystyle 2n}$${\displaystyle L\subset M}$${\displaystyle M}$${\displaystyle \tau :M\to M}$${\displaystyle \tau :M\to M}$${\displaystyle \tau ^{*}\omega =-\omega }$${\displaystyle \tau ^{2}={\text{id}}_{M}}$${\displaystyle L}$

Sea , una familia suave de funciones hamiltonianas en . Esta familia genera una familia de difeomorfismos de 1 parámetro al fluir a lo largo del campo vectorial hamiltoniano asociado a . La conjetura de Arnold-Givental establece que si interseca transversalmente con , entonces ${\displaystyle H_{t}\in C^{\infty }(M)}$${\displaystyle t\in [0,1]}$${\displaystyle M}$${\displaystyle \varphi _{t}:M\to M}$${\displaystyle H_{t}}$${\displaystyle \varphi _{1}(L)}$${\displaystyle L}$

${\displaystyle \#(\varphi _{1}(L)\cap L)\geq \sum _{i=0}^{n}\dim H_{i}(L;\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )}$. ^[4]

La conjetura de Arnold-Givental ha sido demostrada para varios casos especiales.

• Givental lo demostró para . ^[5]${\displaystyle (M,L)=(\mathbb {CP} ^{n},\mathbb {RP} ^{n})}$
• Yong-Geun Oh lo demostró para formas reales de espacios hermíticos compactos con supuestos adecuados sobre los índices de Maslov . ^[6]
• Lazzarini lo demostró para el caso monótono negativo bajo supuestos adecuados sobre el número de Maslov mínimo.
• Kenji Fukaya , Yong-Geun Oh, Hiroshi Ohta y Kaoru Ono lo demostraron de manera semipositiva. ^[7]${\displaystyle (M,\omega )}$
• Urs Frauenfelder lo demostró en el caso en que hay una cierta reducción simpléctica, utilizando la teoría de Floer calibrada . ^[4]${\displaystyle (M,\omega )}$

• Simplectomorfismo#Conjetura de Arnold
• Homología de Floer
• Invariantes espectrales
• Teorema de Conley-Zehnder

• Frauenfelder, Urs (2004), "La conjetura de Arnold-Givental y la homología del momento de Floer", International Mathematics Research Notices , 2004 (42): 2179–2269, arXiv : math/0309373 , doi : 10.1155/S1073792804133941 , MR  2076142.
• Fukaya, Kenji; Oh, Yong-Geun; Ohta, Hiroshi; Ono, Kaoru (2009), Teoría de la intersección lagrangiana de Floer: anomalía y obstrucción , International Press, ISBN 978-0-8218-5253-8
• Givental, AB (1989a), "Mapas periódicos en topología simpléctica", Funktsional. Anal. I Prilozhen , 23 (4): 37–52
  • Givental, AB (1989b), "Mapas periódicos en topología simpléctica (traducción de Funkts. Anal. Prilozh. 23, No. 4, 37-52 (1989))", Análisis funcional y sus aplicaciones , 23 (4): 287–300, doi :10.1007/BF01078943, S2CID  123546007, Zbl  0724.58031
• Oh, Yong-Geun (1992), "Cohomología de Flor y conjetura de Arnol'd-Givental sobre las intersecciones lagrangianas", Comptes Rendus de l'Académie des Sciences , 315 (3): 309–314, MR  1179726.
• Oh, Yong-Geun (1995), "Cohomología de Floer de intersecciones lagrangianas y discos pseudoholomórficos, III: Conjetura de Arnold-Givental", The Floer Memorial Volume , pp. 555–573, doi :10.1007/978-3-0348-9217-9_23, ISBN 978-3-0348-9948-2