Procesamiento de matrices

El procesamiento de arreglos es un área de investigación extensa en el campo del procesamiento de señales , que abarca desde la forma más simple de arreglos lineales unidimensionales hasta geometrías de arreglos bidimensionales y tridimensionales. La estructura de un arreglo se define como un conjunto de sensores espacialmente separados, por ejemplo, antenas de radio y arreglos sísmicos . Los sensores utilizados para un problema específico pueden variar considerablemente, como micrófonos , acelerómetros y telescopios . Sin embargo, existen muchas similitudes, la más fundamental de las cuales es la suposición de propagación de ondas . La propagación de ondas implica una relación sistemática entre la señal recibida por sensores espacialmente separados. Al crear un modelo físico de la propagación de ondas, o en aplicaciones de aprendizaje automático un conjunto de datos de entrenamiento , las relaciones entre las señales recibidas por sensores espacialmente separados pueden aprovecharse para diversas aplicaciones.

Algunos problemas comunes que se resuelven con técnicas de procesamiento de matrices son:

determinar el número y la ubicación de las fuentes de radiación de energía
mejorar la relación señal-ruido ( SNR ) o " relación señal-interferencia-más-ruido (SINR) "
rastrear fuentes en movimiento

Las métricas de procesamiento de arreglos se evalúan frecuentemente en entornos ruidosos. El modelo de ruido puede ser espacialmente incoherente o con señales interferentes que siguen la misma física de propagación. La teoría de la estimación es una parte fundamental del campo del procesamiento de señales, que se utiliza para resolver problemas de estimación en los que se deben estimar los valores de varios parámetros del sistema a partir de datos medidos/empíricos con un componente aleatorio. Con el aumento de las aplicaciones, la estimación de parámetros temporales y espaciales cobra mayor importancia. El procesamiento de arreglos surgió en las últimas décadas como un área activa, centrada en la capacidad de utilizar y combinar datos de diferentes sensores (antenas) para abordar tareas de estimación específicas (procesamiento espacial y temporal). Además de la información que se puede extraer de los datos recopilados, este marco aprovecha el conocimiento previo sobre la geometría del arreglo de sensores para realizar la estimación. El procesamiento de arreglos se utiliza en radar , sonar , exploración sísmica, sistemas antiinterferencias y comunicaciones inalámbricas . Una de las principales ventajas de utilizar el procesamiento de matrices junto con una matriz de sensores es un menor tamaño. Los problemas asociados con el procesamiento de matrices incluyen la cantidad de fuentes utilizadas, su dirección de llegada y sus formas de onda de señal . ^{[ 1 ]}^{[ 2 ]}^{[ 3 ]}^{[ 4 ]}

En el procesamiento de arreglos, existen cuatro supuestos. El primero es que la propagación es uniforme en todas las direcciones en un medio isotrópico y no dispersivo. El segundo es que, para el procesamiento de arreglos en campo lejano, el radio de propagación es mucho mayor que el tamaño del arreglo y que la propagación es de onda plana . El tercer supuesto es que existe ruido blanco y señal con media cero, lo que indica falta de correlación. Finalmente, el último supuesto es que no hay acoplamiento y que la calibración es perfecta. ^{[ 1 ]}

Aplicaciones

El objetivo principal del procesamiento de señales de conjuntos de sensores es estimar los valores de los parámetros utilizando la información temporal y espacial disponible, recopilada mediante el muestreo de un campo de ondas con un conjunto de antenas de geometría precisa. El procesamiento de los datos e información capturados se realiza bajo el supuesto de que el campo de ondas es generado por un número finito de fuentes de señal (emisores) y contiene información sobre los parámetros de señal que caracterizan y describen dichas fuentes. Existen numerosas aplicaciones relacionadas con la formulación del problema anterior, donde se debe especificar el número de fuentes, sus direcciones y ubicaciones. Para motivar al lector, se analizarán algunas de las aplicaciones más importantes relacionadas con el procesamiento de conjuntos de sensores.

Sistemas de radar y sonar:

El concepto de procesamiento de matrices estaba estrechamente vinculado a los sistemas de radar y sonar, que representan las aplicaciones clásicas de este tipo de procesamiento. La matriz de antenas se utiliza en estos sistemas para determinar la ubicación de la(s) fuente(s), cancelar interferencias y suprimir el eco terrestre. Los sistemas de radar se utilizan básicamente para detectar objetos mediante ondas de radio. Se puede especificar el alcance, la altitud, la velocidad y la dirección de los objetos. Los sistemas de radar comenzaron como equipos militares y luego se incorporaron al ámbito civil. En las aplicaciones de radar, se pueden utilizar diferentes modos, uno de ellos es el modo activo. En este modo, el sistema basado en la matriz de antenas irradia pulsos y escucha los retornos. Mediante el uso de los retornos, es posible estimar parámetros como la velocidad, el alcance y la dirección de llegada (DOA) del objetivo de interés. Utilizando matrices de escucha pasivas de campo lejano, solo se puede estimar la DOA. Los sistemas de sonar (Navegación y Localización por Sonido) utilizan las ondas sonoras que se propagan bajo el agua para detectar objetos en la superficie o debajo de ella. Se pueden definir dos tipos de sistemas de sonar: el activo y el pasivo. En el sonar activo, el sistema emite pulsos de sonido y escucha los ecos que se utilizarán para estimar parámetros. En el sonar pasivo, el sistema escucha los sonidos producidos por los objetos objetivo. Existe una diferencia entre el sistema de radar, que utiliza ondas de radio, y el sistema de sonar, que utiliza ondas sonoras. La razón por la que el sonar utiliza ondas sonoras es que estas viajan más lejos en el agua que las ondas de radar y de luz. En el sonar pasivo, el conjunto receptor tiene la capacidad de detectar objetos distantes y su ubicación. Los conjuntos deformables se utilizan habitualmente en sistemas de sonar donde la antena se encuentra sumergida. En el sonar activo, el sistema emite ondas sonoras (energía acústica) y luego escucha y monitoriza cualquier eco existente (las ondas reflejadas). Las ondas sonoras reflejadas se pueden utilizar para estimar parámetros como la velocidad, la posición y la dirección, entre otros. Las dificultades y limitaciones de los sistemas de sonar en comparación con los sistemas de radar surgen del hecho de que la velocidad de propagación de las ondas sonoras bajo el agua es menor que la de las ondas de radio. Otra limitación son las elevadas pérdidas de propagación y la dispersión. A pesar de todas estas limitaciones y dificultades, el sistema de sonar sigue siendo una técnica fiable para la estimación de rango, distancia, posición y otros parámetros para aplicaciones subacuáticas. ^{[ 3 ]}^{[ 5 ]}

NORSAR es un centro independiente de investigación geocientífica fundado en Noruega en 1968. Desde entonces, NORSAR ha trabajado con el procesamiento de redes sísmicas para medir la actividad sísmica en todo el mundo. ^{[ 6 ]} Actualmente, están trabajando en un Sistema Internacional de Monitoreo que comprenderá 50 estaciones sísmicas primarias y 120 auxiliares en todo el mundo. NORSAR trabaja continuamente para mejorar el procesamiento de redes sísmicas con el fin de optimizar el monitoreo de la actividad sísmica no solo en Noruega, sino en todo el mundo. ^{[ 7 ]}

Comunicaciones (inalámbricas)

La comunicación puede definirse como el proceso de intercambio de información entre dos o más partes. En las últimas dos décadas se ha observado un rápido crecimiento de los sistemas de comunicación inalámbrica. Este éxito es resultado de los avances en la teoría de la comunicación y del diseño de sistemas con baja disipación de potencia. En general, la comunicación (telecomunicaciones) puede realizarse mediante medios tecnológicos, ya sea a través de señales eléctricas (comunicación por cable) o de ondas electromagnéticas (comunicación inalámbrica). Los conjuntos de antenas han surgido como una tecnología de apoyo para aumentar la eficiencia del uso del espectro y mejorar la precisión de los sistemas de comunicación inalámbrica, utilizando la dimensión espacial además de las dimensiones clásicas de tiempo y frecuencia. Las técnicas de procesamiento y estimación de conjuntos de antenas se han utilizado en la comunicación inalámbrica. Durante la última década, estas técnicas se han reexplorado como candidatas ideales para solucionar numerosos problemas en la comunicación inalámbrica. En la comunicación inalámbrica, los problemas que afectan la calidad y el rendimiento del sistema pueden provenir de diferentes fuentes. El modelo de comunicación multiusuario (acceso múltiple al medio) y multitrayectoria (propagación de la señal a través de múltiples trayectorias de dispersión en canales inalámbricos) es uno de los modelos de comunicación más extendidos en la comunicación inalámbrica (comunicación móvil).

En entornos de comunicación multiusuario, la presencia de múltiples usuarios aumenta la posibilidad de interferencia entre ellos, lo que puede afectar negativamente la calidad y el rendimiento del sistema. En los sistemas de comunicación móvil, el problema de la multitrayectoria es uno de los problemas básicos que deben afrontar las estaciones base. Estas estaciones han estado utilizando diversidad espacial para combatir el desvanecimiento causado por la multitrayectoria severa. Las estaciones base emplean una matriz de antenas de varios elementos para lograr una mayor selectividad, lo que se conoce como formación de haces. La matriz receptora puede dirigirse hacia un usuario a la vez, evitando la interferencia de otros usuarios.

Aplicaciones médicas

Las técnicas de procesamiento de matrices han captado mucha atención en aplicaciones médicas e industriales. En aplicaciones médicas, el procesamiento de imágenes médicas es uno de los campos básicos que utiliza el procesamiento de matrices. Otras aplicaciones médicas que utilizan el procesamiento de matrices son: el tratamiento de enfermedades, el seguimiento de formas de onda que contienen información sobre el estado de órganos internos, como el corazón, y la localización y el análisis de la actividad cerebral mediante matrices de sensores biomagnéticos. ^{[ 8 ]}

Procesamiento de matrices para la mejora del habla

La mejora y el procesamiento del habla representan otro campo afectado por la nueva era del procesamiento de arreglos. La mayoría de los sistemas acústicos de entrada se han automatizado por completo (por ejemplo, los teléfonos). Sin embargo, el entorno operativo de estos sistemas contiene una mezcla de otras fuentes acústicas; el ruido externo, así como el acoplamiento acústico de las señales de los altavoces, saturan y atenúan la señal de voz deseada. Además de estas fuentes externas, la intensidad de la señal deseada se reduce debido a la distancia relativa entre el altavoz y los micrófonos. Las técnicas de procesamiento de arreglos han abierto nuevas oportunidades en el procesamiento del habla para atenuar el ruido y el eco sin degradar la calidad de la señal ni afectarla negativamente. En general, estas técnicas se pueden utilizar en el procesamiento del habla para reducir la potencia de cálculo (número de cálculos) y mejorar la calidad del sistema (el rendimiento). Representar la señal como una suma de subbandas y adaptar los filtros de cancelación para las señales de subbanda puede reducir la potencia de cálculo requerida y dar como resultado un sistema de mayor rendimiento. El uso de múltiples canales de entrada permite diseñar sistemas de mayor calidad en comparación con los sistemas que utilizan un solo canal y resolver problemas como la localización, el seguimiento y la separación de fuentes, que no se pueden lograr utilizando un solo canal. ^{[ 9 ]}

Procesamiento de matrices en aplicaciones astronómicas

El entorno astronómico contiene una mezcla de señales externas y ruido que afectan la calidad de las señales deseadas. La mayoría de las aplicaciones de procesamiento de arreglos en astronomía están relacionadas con el procesamiento de imágenes. El arreglo se utiliza para lograr una calidad superior que no se puede obtener utilizando un solo canal. La alta calidad de imagen facilita el análisis cuantitativo y la comparación con imágenes en otras longitudes de onda. En general, los arreglos astronómicos se pueden dividir en dos clases: la clase de formación de haces y la clase de correlación. La formación de haces es una técnica de procesamiento de señales que produce haces de arreglo sumados desde una dirección de interés, utilizada básicamente en la transmisión o recepción de señales direccionales. La idea básica es combinar elementos en un arreglo de fase de tal manera que algunas señales experimenten inferencia destructiva y otras inferencia constructiva. Los arreglos de correlación proporcionan imágenes de todo el patrón de haz primario de un solo elemento, calculadas fuera de línea a partir de registros de todas las correlaciones posibles entre las antenas, por pares.

Otras aplicaciones

Además de estas aplicaciones, se han desarrollado muchas otras basadas en técnicas de procesamiento de matrices: formación de haces acústicos para audífonos , separación ciega de fuentes subdeterminadas mediante matrices acústicas, matriz de imágenes de ultrasonido 3D/4D digital, antenas inteligentes, radar de apertura sintética, imágenes acústicas subacuáticas y matrices de sensores químicos, etc. ^{[ 3 ]}^{[ 4 ]}^{[ 5 ]}

Modelo general y formulación del problema

Consideremos un sistema que consta de una matriz de r sensores arbitrarios con ubicaciones y direcciones arbitrarias (características direccionales) que reciben señales generadas por q fuentes de banda estrecha de frecuencia central conocida ω y ubicaciones θ1, θ2, θ3, θ4 ... θq. Dado que las señales son de banda estrecha, el retardo de propagación a través de la matriz es mucho menor que el recíproco del ancho de banda de la señal y, por lo tanto, utilizando una representación de envolvente compleja, la salida de la matriz se puede expresar (en el sentido de superposición) como : ^{[ 3 ]}^{[ 5 ]}^{[ 8 ]} $\textstyle x(t)=\sum _{K=1}^{q}a(\theta _{k})s_{k}(t)+n(t)$

Dónde:

$x(t)$ es el vector de las señales recibidas por los sensores de la matriz,
$s_{k}(t)$ es la señal emitida por la k-ésima fuente tal como se recibe en el sensor de frecuencia 1 del conjunto,
$a(\theta _{k})$ es el vector de dirección del arreglo hacia la dirección ( $\theta _{k}$ ),
τi(θk): es el retardo de propagación entre el primer y el i-ésimo sensor para una forma de onda proveniente de la dirección (θk),
$n(t)$ es el vector de ruido.

La misma ecuación también puede expresarse en forma de vectores: $\textstyle \mathbf {x} (t)=A(\theta )s(t)+n(t)$

Si ahora suponemos que se toman M instantáneas en los instantes de tiempo t1, t2 ... tM, los datos se pueden expresar como: $\mathbf {X} =\mathbf {A} (\theta )\mathbf {S} +\mathbf {N}$

Donde X y N son matrices de r × M y S es una matriz de q × M: $\mathbf {X} =[x(t_{1}),......,x(t_{M})]$ $\mathbf {N} =[n(t_{1}),......,n(t_{M})]$ $\mathbf {S} =[s(t_{1}),......,s(t_{M})]$

Definición del problema : “El objetivo es estimar las direcciones de llegada (DOA) θ1, θ2, θ3, θ4…θq de las fuentes a partir de la instantánea M del conjunto x(t1)… x(tM). En otras palabras, lo que nos interesa es estimar las DOA de las señales emisoras que inciden en el conjunto receptor, dado un conjunto de datos finito {x(t)} observado durante t=1, 2… M. Esto se hará básicamente utilizando la estadística de segundo orden de los datos” ^{[ 5 ]}^{[ 8 ].}

Para resolver este problema (para garantizar que exista una solución válida), ¿debemos agregar condiciones o supuestos sobre el entorno operativo y/o el modelo utilizado? Dado que se utilizan muchos parámetros para especificar el sistema, como el número de fuentes, el número de elementos de la matriz, etc., ¿existen condiciones que deban cumplirse previamente? Con este fin, queremos hacer los siguientes supuestos: ^{[ 1 ]}^{[ 3 ]}^{[ 5 ]}

Se conoce el número de señales y es menor que el número de sensores, $q < r$ .
El conjunto de cualesquiera q vectores de dirección es linealmente independiente.
Medio isotrópico y no dispersivo: propagación uniforme en todas las direcciones.
Ruido blanco y señal de media cero, no correlacionados.
Campo lejano.

a. Radio de propagación >> tamaño del array.

b. Propagación de ondas planas.

A lo largo de este estudio, se asumirá que el número de señales subyacentes, q, en el proceso observado es conocido. Sin embargo, existen técnicas eficaces y consistentes para estimar este valor incluso si se desconoce.

Técnicas de estimación

En general, las técnicas de estimación de parámetros se pueden clasificar en métodos espectrales y métodos paramétricos . En los primeros, se construye una función espectral del o los parámetros de interés. Las ubicaciones de los picos más altos (separados) de la función en cuestión se registran como estimaciones de la dirección de llegada (DOA). Las técnicas paramétricas, por otro lado, requieren una búsqueda simultánea de todos los parámetros de interés. La principal ventaja del enfoque paramétrico en comparación con el enfoque espectral es la precisión, aunque a costa de una mayor complejidad computacional. ^{[ 1 ]}^{[ 3 ]}^{[ 5 ]}

Soluciones basadas en el espectro

Las soluciones algorítmicas basadas en el espectro se pueden clasificar además en técnicas de formación de haces y técnicas basadas en subespacios.

Técnica de formación de haces

El primer método utilizado para especificar y localizar automáticamente las fuentes de señal mediante conjuntos de antenas fue la técnica de formación de haces. La idea detrás de la formación de haces es muy simple: orientar el conjunto en una dirección a la vez y medir la potencia de salida. Las ubicaciones de orientación donde se obtiene la máxima potencia proporcionan las estimaciones de la dirección de llegada (DOA). La respuesta del conjunto se orienta mediante la formación de una combinación lineal de las salidas de los sensores. ^{[ 3 ]}^{[ 5 ]}^{[ 8 ]} Descripción general del enfoque $\textstyle 1.\ R_{x}={\frac {1}{M}}\sum _{t=1}^{M}\mathbf {x} (t)\mathbf {x} ^{*}(t)$ $\textstyle 2.\ Calculate\ B(W_{i})=F^{*}R_{x}F(W_{i})$ $\textstyle 3.\ Find\ Peaks\ of\ B(W_{i})\ for\ all\ possible\ w_{i}'s.$ $\textstyle 4.\ Calculate\ \theta _{k},\ i=1,....q.$ Donde Rx es la matriz de covarianza de la muestra . Los diferentes enfoques de formación de haces corresponden a distintas elecciones del vector de ponderación F. Las ventajas de usar la técnica de formación de haces son su simplicidad, facilidad de uso y comprensión. La desventaja de usar esta técnica es su baja resolución.

Técnica basada en subespacios

Muchos métodos espectrales del pasado recurrían a la descomposición espectral de una matriz de covarianza para realizar el análisis. Un avance significativo se produjo cuando se invocó explícitamente la estructura de valores propios de la matriz de covarianza y se utilizaron directamente sus propiedades intrínsecas para proporcionar una solución a un problema de estimación subyacente para un proceso observado dado. Una clase de técnicas de estimación espectral espacial se basa en la descomposición en valores propios de la matriz de covarianza espacial. La razón de este enfoque es que se desea enfatizar las elecciones para el vector de dirección a(θ) que corresponden a las direcciones de la señal. El método explota la propiedad de que las direcciones de llegada determinan la estructura de valores propios de la matriz. El enorme interés en los métodos basados en subespacios se debe principalmente a la introducción del algoritmo MUSIC (Clasificación de Señales Múltiples) . MUSIC se presentó originalmente como un estimador de DOA, y posteriormente se ha vuelto a aplicar con éxito al problema de análisis espectral/identificación de sistemas. ^{[ 3 ]}^{[ 5 ]}^{[ 8 ]}

Descripción general del enfoque $\textstyle 1.\ Subspace\ decomposition\ by\ performing\ eigenvalue\ decomposition:$ $\textstyle R_{x}=\mathbf {A} \mathbf {R} _{s}\mathbf {A} ^{*}+\sigma ^{2}I=\sum _{k=1}^{M}\lambda _{k}e_{k}r_{k}^{*}$ $\textstyle 2.\ span\{\mathbf {A} \}=spane\{e1,....,e_{d}\}=span\{\mathbf {E} _{s}\}.$ $\textstyle 3.\ Check\ which\ a(\theta )\ \epsilon span\{\mathbf {E} _{s}\}\ or\ \mathbf {P} _{A}a(\theta )\ or\ P_{\mathbf {A} }^{\perp }a(\theta ),\ where\ \mathbf {P} _{A}\ is\ a\ projection\ matrix.$ $\textstyle 4.\ Search\ for\ all\ possible\ \theta \ such\ that:\left|P_{\mathbf {A} }^{\perp }a(\theta )\right|^{2}=0\ or\ M(\theta )={\frac {1}{P_{A}a(\theta )}}=\infty$ $\textstyle 5.\ After\ EVD\ of\ R_{x}:$ $\textstyle P_{A}^{\perp }=I-E_{s}E_{s}^{*}=E_{n}E_{n}^{*}$ donde la matriz de autovectores de ruido $E_{n}=[e_{d}+1,....,e_{M}]$

Los métodos de espectro MUSIC utilizan una única realización del proceso estocástico , representada por las instantáneas x(t), t=1, 2...M. Las estimaciones de MUSIC son consistentes y convergen a las direcciones reales de la fuente a medida que el número de instantáneas tiende a infinito. Una desventaja fundamental del método MUSIC es su sensibilidad a los errores del modelo. MUSIC requiere un costoso procedimiento de calibración, el cual es muy sensible a dichos errores. El costo de la calibración aumenta a medida que se incrementa el número de parámetros que definen la variedad del arreglo.

Soluciones basadas en parámetros

Si bien los métodos basados en el espectro presentados en la sección anterior son computacionalmente atractivos, no siempre ofrecen la precisión suficiente. En particular, para los casos en que tenemos señales altamente correlacionadas, el rendimiento de los métodos basados en el espectro puede ser insuficiente. Una alternativa es explotar más completamente el modelo de datos subyacente, lo que lleva a los llamados métodos de procesamiento de matrices paramétricas. El costo de usar tales métodos para aumentar la eficiencia es que los algoritmos generalmente requieren una búsqueda multidimensional para encontrar las estimaciones. El enfoque basado en modelos más utilizado en el procesamiento de señales es la técnica de máxima verosimilitud (ML). Este método requiere un marco estadístico para el proceso de generación de datos. Al aplicar la técnica ML al problema del procesamiento de matrices, se han considerado dos métodos principales dependiendo de la suposición del modelo de datos de la señal. Según la ML estocástica, las señales se modelan como procesos aleatorios gaussianos . Por otro lado, en la ML determinista, las señales se consideran cantidades deterministas desconocidas que deben estimarse junto con la dirección de llegada. ^{[ 3 ]}^{[ 5 ]}^{[ 8 ]}

Enfoque de aprendizaje automático estocástico

El método de máxima verosimilitud estocástica se obtiene modelando las formas de onda de la señal como un proceso aleatorio gaussiano bajo el supuesto de que el proceso x(t) es un proceso gaussiano estacionario de media cero, completamente descrito por su matriz de covarianza de segundo orden. Este modelo es razonable si las mediciones se obtienen filtrando señales de banda ancha mediante un filtro de paso de banda estrecha . Descripción general del enfoque $\textstyle 1.\ Find\ W_{K}\ to\ minimize:$ $\textstyle min_{a^{*}(\theta _{k}w_{k}=1)}\ E\{\left|W_{k}X(t)\right|^{2}\}$ $\textstyle =min_{a^{*}(\theta _{k}w_{k}=1)}\ W_{k}^{*}R_{k}W_{k}$ $\textstyle 2.\ Use\ the\ langrange\ method:$ $\textstyle min_{a^{*}(\theta _{k}w_{k}=1)}\ E\{\left|W_{k}X(t)\right|^{2}\}$ $\textstyle =min_{a^{*}(\theta _{k}w_{k}=1)}\ W_{k}^{*}R_{k}W_{k}+2\mu (a^{*}(\theta _{k})w_{k}\Leftrightarrow 1)$ $\textstyle 3.\ Differentiating\ it,\ we\ obtain$ $\textstyle R_{x}w_{k}=\mu a(\theta _{k}),\ or\ W_{k}=\mu R_{x}^{-1}a(\theta _{k})$ $\textstyle 4.\ since$ $\textstyle a^{*}(\theta _{k})W_{k}=\mu a(\theta _{k})^{*}R_{x}^{-1}a(\theta _{k})=1$ $\textstyle Then$ $\textstyle \mu =a(\theta _{k})^{*}R_{x}^{-1}a(\theta _{k})$ $\textstyle 5.\ Capon's\ Beamformer$ $\textstyle W_{k}=R_{x}^{-1}a(\theta _{k})/(a^{*}(\theta _{k})R_{x}^{-1}a(\theta _{k}))$

Enfoque de aprendizaje automático determinista

Si bien el ruido de fondo y el ruido del receptor en el modelo de datos asumido pueden considerarse como provenientes de un gran número de fuentes de ruido independientes, lo mismo no suele ocurrir con las señales del emisor. Por lo tanto, parece natural modelar el ruido como un proceso aleatorio blanco gaussiano estacionario, mientras que las formas de onda de la señal son deterministas (arbitrarias) y desconocidas. Según el modelo de máxima verosimilitud determinista, las señales se consideran cantidades desconocidas y deterministas que deben estimarse junto con la dirección de llegada. Este es un modelo natural para aplicaciones de comunicación digital donde las señales distan mucho de ser variables aleatorias normales y donde la estimación de la señal es de igual interés. ^{[ 3 ]}^{[ 4 ]}

Espectrómetro de correlación

El problema de calcular la correlación por pares en función de la frecuencia se puede resolver mediante dos métodos matemáticamente equivalentes pero distintos. Mediante la Transformada Discreta de Fourier (DFT) es posible analizar señales tanto en el dominio del tiempo como en el dominio espectral. El primer método es la correlación "XF", ya que primero correlaciona las antenas (la operación "X") mediante una convolución de retardo en el dominio del tiempo y, a continuación, calcula el espectro (la operación "F") para cada línea base resultante. El segundo método, "FX", aprovecha el hecho de que la convolución es equivalente a la multiplicación en el dominio de Fourier. Primero calcula el espectro para cada antena individual (la operación F) y, a continuación, multiplica por pares todas las antenas para cada canal espectral (la operación X). Un correlador FX tiene la ventaja sobre un correlador XF de que su complejidad computacional es O (N² ⁾ . Por lo tanto, los correladores FX son más eficientes para arreglos más grandes. ^{[ 10 ]}

Los espectrómetros de correlación, como el interferómetro de Michelson, varían el retardo temporal entre las señales para obtener el espectro de potencia de las señales de entrada. El espectro de potencia $S_{\text{XX}}(f)$ de una señal está relacionada con su función de autocorrelación mediante una transformada de Fourier: ^{[ 11 ]}

donde la función de autocorrelación $R_{\text{XX}}(\tau )$ para la señal X en función del retardo de tiempo $\tau$ es

La espectroscopia de correlación cruzada con interferometría espacial es posible simplemente sustituyendo una señal por voltaje. $V_{Y}(t)$ en la ecuación Eq.II para producir la correlación cruzada $R_{\text{XY}}(\tau )$ y el espectro cruzado $S_{\text{XY}}(f)$ .

Ejemplo: filtrado espacial

En radioastronomía , es necesario mitigar las interferencias de radiofrecuencia para detectar y observar cualquier objeto o evento significativo en el cielo nocturno.

Proyectando hacia afuera el interferente

Para un conjunto de radiotelescopios con una firma espacial de la fuente interferente $\mathbf {a}$ Dado que no se conoce la función de la dirección de la interferencia y su variación temporal, la matriz de covarianza de la señal toma la forma:

$\mathbf {R} =\mathbf {R} _{v}+\sigma _{s}^{2}\mathbf {a} \mathbf {a} ^{\dagger }+\sigma _{n}^{2}\mathbf {I}$

dónde $\mathbf {R} _{v}$ es la matriz de covarianza de visibilidades (fuentes), $\sigma _{s}^{2}$ es el poder del interferente, y $\sigma _{n}^{2}$ es la potencia de ruido y $\dagger$ denota la transpuesta hermitiana. Se puede construir una matriz de proyección. $\mathbf {P} _{a}^{\perp }$ , que, cuando se multiplica por la izquierda y por la derecha por la matriz de covarianza de la señal, reducirá el término de interferencia a cero.

$\mathbf {P} _{a}^{\perp }=\mathbf {I} -\mathbf {a} (\mathbf {a} ^{\dagger }\mathbf {a} )^{-1}\mathbf {a} ^{\dagger }$

Así, la matriz de covarianza de la señal modificada queda de la siguiente manera:

${\tilde {\mathbf {R} }}=\mathbf {P} _{a}^{\perp }\mathbf {R} \mathbf {P} _{a}^{\perp }=\mathbf {P} _{a}^{\perp }\mathbf {R} _{v}\mathbf {P} _{a}^{\perp }+\sigma _{n}^{2}\mathbf {P} _{a}^{\perp }$

Desde $\mathbf {a}$ Generalmente no se sabe, $\mathbf {P} _{a}^{\perp }$ se puede construir utilizando la descomposición de valores propios de $\mathbf {R}$ , en particular la matriz que contiene una base ortonormal del subespacio de ruido, que es el complemento ortogonal de $\mathbf {a}$ Las desventajas de este enfoque incluyen alterar la matriz de covarianza de visibilidades y colorear el término de ruido blanco. ^{[ 12 ]}

Blanqueamiento espacial

Este esquema intenta hacer que el término de interferencia más ruido sea espectralmente blanco. Para ello, se multiplican izquierda y derecha. $\mathbf {R}$ con factores de raíz cuadrada inversa de los términos de interferencia más ruido.

${\tilde {\mathbf {R} }}=(\sigma _{s}^{2}\mathbf {a} \mathbf {a} ^{\dagger }+\sigma _{n}^{2}\mathbf {I} )^{-{\frac {1}{2}}}\mathbf {R} (\sigma _{s}^{2}\mathbf {a} \mathbf {a} ^{\dagger }+\sigma _{n}^{2}\mathbf {I} )^{-{\frac {1}{2}}}$

El cálculo requiere manipulaciones matriciales rigurosas, pero da como resultado una expresión de la forma:

${\tilde {\mathbf {R} }}=(\cdot )^{-{\frac {1}{2}}}\mathbf {R} _{v}(\cdot )^{-{\frac {1}{2}}}+\mathbf {I}$

Este enfoque requiere manipulaciones de matrices mucho más intensivas computacionalmente, y nuevamente se altera la matriz de covarianza de visibilidades. ^{[ 13 ]}

Estimación de sustracción de interferencia

Desde $\mathbf {a}$ Se desconoce, la mejor estimación es el vector propio dominante. $\mathbf {u} _{1}$ de la descomposición en valores propios de $\mathbf {R} =\mathbf {U} \mathbf {\Lambda } \mathbf {U} ^{\dagger }$ y asimismo la mejor estimación de la potencia de interferencia es $\sigma _{s}^{2}\approx \lambda _{1}-\sigma _{n}^{2}$ , dónde $\lambda _{1}$ es el valor propio dominante de $\mathbf {R}$ Se puede restar el término de interferencia de la matriz de covarianza de la señal:

${\tilde {\mathbf {R} }}=\mathbf {R} -\sigma _{s}^{2}\mathbf {a} \mathbf {a} ^{\dagger }$

Por derecha e izquierda multiplicando $\mathbf {R}$ :

${\tilde {\mathbf {R} }}\approx (\mathbf {I} -\alpha \mathbf {u} _{1}\mathbf {u} _{1}^{\dagger })\mathbf {R} (\mathbf {I} -\alpha \mathbf {u} _{1}\mathbf {u} _{1}^{\dagger })=\mathbf {R} -\mathbf {u} _{1}\mathbf {u} _{1}^{\dagger }\lambda _{1}(2\alpha -\alpha ^{2})$

dónde $\lambda _{1}(2\alpha -\alpha ^{2})\approx \sigma _{s}^{2}$ seleccionando el apropiado $\alpha$ Este esquema requiere una estimación precisa del término de interferencia, pero no altera el término de ruido o fuentes. ^{[ 14 ]}

Resumen

La técnica de procesamiento de matrices representa un avance significativo en el procesamiento de señales. Se han presentado numerosas aplicaciones y problemas que pueden resolverse mediante esta técnica. Además, en los próximos años aumentará el número de aplicaciones que incluyan alguna forma de procesamiento de señales mediante matrices. Se prevé que la importancia del procesamiento de matrices crezca a medida que la automatización se generalice en entornos y aplicaciones industriales. Asimismo, los avances en el procesamiento digital de señales y los sistemas de procesamiento digital de señales también permitirán satisfacer los altos requisitos computacionales que exigen algunas técnicas de estimación.

En este artículo, destacamos la importancia del procesamiento de matrices, enumerando las aplicaciones más relevantes que incluyen alguna de sus técnicas. Describimos brevemente las diferentes clasificaciones del procesamiento de matrices, así como los enfoques espectrales y paramétricos. Se presentan algunos de los algoritmos más importantes, explicando y analizando sus ventajas y desventajas.

Véase también

Referencias

1 2 3 4 Torlak, M. Procesamiento de matrices espaciales . Seminario de procesamiento de señales e imágenes. Universidad de Texas en Austin.
↑ J Li, Peter Stoica (Eds) (2009). Procesamiento de señales de radar MIMO . EE. UU.: J Wiley & Sons.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Peter Stoica , R Moses (2005). Análisis espectral de señales (PDF) . NJ: Prentice Hall.
1 2 3 J Li, Peter Stoica (Eds) (2006). Robust Adaptive Beamforming . USA: J Wiley & Sons.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 Singh, Hema; Jha, RakeshMohan (2012), Tendencias en el procesamiento adaptativo de matrices
↑ "Sobre nosotros" . NORSAR. Archivado del original el 20 de junio de 2013. Consultado el 6 de junio de 2013 .
↑ "Mejora del procesamiento de matrices IMS" . Norsar.no. Archivado del original el 21 de agosto de 2012. Consultado el 6 de agosto de 2012 .
1 2 3 4 5 6 Krim, Hamid; Viberg, Mats (1995), Procesamiento de señales de matrices de sensores: dos décadas después
↑ Zelinski, Rainer. "Un conjunto de micrófonos con postfiltrado adaptativo para la reducción de ruido en salas reverberantes." Acústica, habla y procesamiento de señales, 1988. ICASSP-88, Conferencia Internacional de 1988. IEEE, 1988.
↑ Parsons, Aaron; Backer, Donald; Siemion, Andrew (12 de septiembre de 2008). "Una arquitectura de correlador escalable basada en hardware FPGA modular, gateware reutilizable y empaquetización de datos". Publicaciones de la Sociedad Astronómica del Pacífico . 120 (873): 1207– 1221. arXiv : 0809.2266 . Bibcode : 2008PASP..120.1207P . doi : 10.1086/593053 . S2CID 14152210 .
↑ Espectrómetros para detección heterodina. Archivado el 7 de marzo de 2016 en Wayback Machine . Andrew Harris.
↑ Jamil Raza; Albert-Jan Boonstra; Alle-Jan van der Veen (febrero de 2002). "Filtrado espacial de interferencias de RF en radioastronomía" . Cartas de procesamiento de señales IEEE . 9 (12): 64– 67. Código bibliográfico : 2002ISPL....9...64R . doi : 10.1109/97.991140 .
↑ Amir Leshem ; Alle-Jan van der Veen (16 de agosto de 2000). "Imágenes radioastronómicas en presencia de fuertes interferencias de radio". IEEE Transactions on Information Theory . 46 (5): 1730– 1747. arXiv : astro-ph/0008239 . Bibcode : 2000ITIT...46.1730L . doi : 10.1109/18.857787 . S2CID 4671806 .
↑ Amir Leshem; Albert-Jan Boonstra; Alle-Jan van der Veen (noviembre de 2000). "Técnicas de mitigación de interferencias multicanal en radioastronomía". Astrophysical Journal Supplement Series . 131 (1): 355– 373. arXiv : astro-ph/0005359 . Bibcode : 2000ApJS..131..355L . doi : 10.1086/317360 . S2CID 50311217 .

Fuentes

Johnson, DH; Dudgeon, DE (1993). Procesamiento de señales de arreglos . Prentice Hall.
Van Trees, HL (2002). Procesamiento óptimo de matrices . Nueva York: Wiley.
Krim, H.; Viberg, M. (julio de 1996). "Dos décadas de investigación en procesamiento de señales de arreglos" (PDF) . IEEE Signal Processing Magazine : 67–94 . doi : 10.1109/79.526899 . Archivado del original (PDF) el 9 de septiembre de 2013. Recuperado el 8 de diciembre de 2010 .
S. Haykin y KJR Liu (editores), "Manual sobre procesamiento de matrices y redes de sensores", Serie de sistemas adaptativos y de aprendizaje para el procesamiento de señales, comunicaciones y control, 2010.
E. Tuncer y B. Friedlander (editores), "Estimación clásica y moderna de la dirección de llegada", Academic Press, 2010.
AB Gershman, material didáctico para el procesamiento de matrices
Prof. JWR Griffiths, Procesamiento adaptativo de matrices, IEEPROC, Vol. 130, 1983.
N. Petrochilos, G. Galati, E. Piracci, Procesamiento de señales SSR en arreglos en el contexto de multilateración, una revisión de una década.

[utexas1-1] 1 2 3 4 Torlak, M. Procesamiento de matrices espaciales . Seminario de procesamiento de señales e imágenes. Universidad de Texas en Austin.

[ref1-2] J Li, Peter Stoica (Eds) (2009). Procesamiento de señales de radar MIMO . EE. UU.: J Wiley & Sons.

[ref2-3] 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Peter Stoica , R Moses (2005). Análisis espectral de señales (PDF) . NJ: Prentice Hall.

[ref3-4] 1 2 3 J Li, Peter Stoica (Eds) (2006). Robust Adaptive Beamforming . USA: J Wiley & Sons.

[ref6-5] 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Singh, Hema; Jha, RakeshMohan (2012), Tendencias en el procesamiento adaptativo de matrices

[NORSAR-6] "Sobre nosotros" . NORSAR. Archivado del original el 20 de junio de 2013. Consultado el 6 de junio de 2013 .

[7] "Mejora del procesamiento de matrices IMS" . Norsar.no. Archivado del original el 21 de agosto de 2012. Consultado el 6 de agosto de 2012 .

[ref5-8] 1 2 3 4 5 6 Krim, Hamid; Viberg, Mats (1995), Procesamiento de señales de matrices de sensores: dos décadas después

[9] Zelinski, Rainer. "Un conjunto de micrófonos con postfiltrado adaptativo para la reducción de ruido en salas reverberantes." Acústica, habla y procesamiento de señales, 1988. ICASSP-88, Conferencia Internacional de 1988. IEEE, 1988.

[10] Parsons, Aaron; Backer, Donald; Siemion, Andrew (12 de septiembre de 2008). "Una arquitectura de correlador escalable basada en hardware FPGA modular, gateware reutilizable y empaquetización de datos". Publicaciones de la Sociedad Astronómica del Pacífico . 120 (873): 1207– 1221. arXiv : 0809.2266 . Bibcode : 2008PASP..120.1207P . doi : 10.1086/593053 . S2CID 14152210 .

[Harris-11] Espectrómetros para detección heterodina. Archivado el 7 de marzo de 2016 en Wayback Machine . Andrew Harris.

[12] Jamil Raza; Albert-Jan Boonstra; Alle-Jan van der Veen (febrero de 2002). "Filtrado espacial de interferencias de RF en radioastronomía" . Cartas de procesamiento de señales IEEE . 9 (12): 64– 67. Código bibliográfico : 2002ISPL....9...64R . doi : 10.1109/97.991140 .

[13] Amir Leshem ; Alle-Jan van der Veen (16 de agosto de 2000). "Imágenes radioastronómicas en presencia de fuertes interferencias de radio". IEEE Transactions on Information Theory . 46 (5): 1730– 1747. arXiv : astro-ph/0008239 . Bibcode : 2000ITIT...46.1730L . doi : 10.1109/18.857787 . S2CID 4671806 .

[14] Amir Leshem; Albert-Jan Boonstra; Alle-Jan van der Veen (noviembre de 2000). "Técnicas de mitigación de interferencias multicanal en radioastronomía". Astrophysical Journal Supplement Series . 131 (1): 355– 373. arXiv : astro-ph/0005359 . Bibcode : 2000ApJS..131..355L . doi : 10.1086/317360 . S2CID 50311217 .

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]

[ 6 ]

[ 7 ]

[ 8 ]

[ 9 ]

[ 10 ]

[ 11 ]

[ 12 ]

[ 13 ]

[ 14 ]