Ideal artiniano

En álgebra abstracta , un ideal artiniano , llamado así en honor a Emil Artin , se encuentra en la teoría de anillos , en particular, con anillos polinomiales .

Dado un anillo polinomial R  =  k [ X ₁ , ...  X _n ] donde k es algún cuerpo , un ideal artiniano es un ideal I en R para el cual la dimensión de Krull del anillo cociente R / I es 0. También, de manera menos precisa, uno puede pensar en un ideal artiniano como uno que tiene al menos cada indeterminado en R elevado a una potencia mayor que 0 como un generador.

Si un ideal no es artiniano, se puede tomar su clausura artiniana de la siguiente manera: primero, se toma el mínimo común múltiplo de los generadores del ideal. Segundo, se suma al conjunto generador del ideal cada indeterminado del MCM con su potencia incrementada en 1 si la potencia no es 0 para empezar. A continuación se muestra un ejemplo.

Sea , y sea y . Aquí, y son ideales artinianos, pero no lo son porque en , lo indeterminado no aparece solo ante una potencia como generador. ${\displaystyle R=k[x,y,z]}$${\displaystyle I=(x^{2},y^{5},z^{4}),\;J=(x^{3},y^{2},z^{6},x^{2}yz^{4},yz^{3})}$${\displaystyle \displaystyle {K=(x^{3},y^{4},x^{2}z^{7})}}$${\displaystyle \displaystyle {I}}$${\estilo de visualización \estilo de visualización {J}}$${\displaystyle \displaystyle {K}}$${\displaystyle \displaystyle {K}}$${\displaystyle \displaystyle {z}}$

Para tomar el cierre artiniano de , , encontramos el MCM de los generadores de , que es . Luego, sumamos los generadores , y a , y reducimos. Por lo tanto, tenemos que es artiniano. ${\displaystyle \displaystyle {K}}$${\displaystyle \displaystyle {\sombrero {K}}}$${\displaystyle \displaystyle {K}}$${\displaystyle \displaystyle {x^{3}y^{4}z^{7}}}$${\displaystyle \displaystyle {x^{4},y^{5}}}$${\displaystyle \displaystyle {z^{8}}}$${\displaystyle \displaystyle {K}}$${\displaystyle \displaystyle {\hat {K}}=(x^{3},y^{4},z^{8},x^{2}z^{7})}$

• Sáenz-de-Cabezón Irigaray, Eduardo (2008). "Homología, cálculos y aplicaciones combinatorias de Koszul". arXiv : 0803.0421 .