contracción de Asano

En análisis complejo , una disciplina matemática, y en física estadística , la contracción de Asano o contracción de Asano-Ruelle es una transformación aplicada a un polinomio multivariado afín por separado . Fue presentada por primera vez en 1970 por Taro Asano para demostrar el teorema de Lee-Yang en el caso del modelo de espín de Heisenberg . Esto también proporcionó una demostración sencilla del teorema de Lee-Yang en el modelo de Ising . David Ruelle demostró un teorema general que relaciona la ubicación de las raíces de un polinomio contraído con la del polinomio original. Las contracciones de Asano también se han utilizado para estudiar polinomios en teoría de grafos .

Dejar${\displaystyle \Phi (z_{1},z_{2},\ldots,z_{n})}$sea ​​un polinomio que, visto como una función de solo una de estas variables, es una función afín . Dichas funciones se denominan afines por separado. Por ejemplo,${\displaystyle a+bz_{1}+cz_{2}+dz_{1}z_{2}}$es la forma general de una función afín separada en dos variables. Cualquier función afín separada se puede escribir en términos de cualesquiera dos de sus variables como${\displaystyle \Phi (z_{i},z_{j})=a+bz_{i}+cz_{j}+dz_{i}z_{j}}$La contracción de Asano${\displaystyle (z_{i},z_{j})\mapsto z}$envía${\displaystyle \Phi }$a${\displaystyle {\tilde {\Phi }}=a+dz}$. ^{[ 1 ]}

Las contracciones de Asano se utilizan a menudo en el contexto de teoremas sobre la ubicación de raíces. Asano las utilizó originalmente porque preservan la propiedad de no tener raíces cuando todas las variables tienen magnitud mayor que 1. ^{[ 2 ]} Ruelle proporcionó una relación más general que permitió utilizar las contracciones en más aplicaciones. ^{[ 3 ]} Demostró que si hay conjuntos cerrados${\displaystyle M_{1},M_{2},\ldots ,M_{n}}$que no contiene 0 tal que${\displaystyle \Phi }$no puede desaparecer a menos que${\displaystyle z_{i}\in M_{i}}$para algún índice${\displaystyle i}$, entonces${\displaystyle {\tilde {\Phi }}=((z_{j},z_{k})\mapsto z)(\Phi )}$solo puede desaparecer si${\displaystyle z_{i}\in M_{i}}$para algún índice${\displaystyle i\neq k,j}$o${\displaystyle z\in -M_{j}M_{k}}$dónde${\displaystyle -M_{j}M_{k}=\{-ab;a\in M_{j},b\in M_{k}\}}$. ^{[ 4 ]} Ruelle y otros han utilizado este teorema para relacionar los ceros de la función de partición con los ceros de la función de partición de sus subsistemas.

Las contracciones de Asano se pueden utilizar en física estadística para obtener información sobre un sistema a partir de sus subsistemas. Por ejemplo, supongamos que tenemos un sistema con un conjunto finito${\displaystyle \Lambda }$de partículas con espín magnético 1 o −1. Para cada sitio, tenemos una variable compleja.${\displaystyle z_{x}}$Entonces podemos definir un polinomio afín por separado.${\displaystyle P(z_{\Lambda })=\sum _{X\subseteq \Lambda }c_{X}z^{X}}$dónde${\displaystyle z^{X}=\prod _{x\in X}z_{x}}$,${\displaystyle c_{X}=e^{-\beta U(X)}}$y${\displaystyle U(X)}$es la energía del estado donde solo los sitios en${\displaystyle X}$tienen espín positivo. Si todas las variables son iguales, esta es la función de partición . Ahora bien, si${\displaystyle \Lambda =\Lambda _{1}\cap \Lambda _{2}}$, entonces${\displaystyle P(z_{\Lambda })}$se obtiene de${\displaystyle P(z_{\Lambda _{1}})P(z_{\Lambda _{2}})}$mediante la contracción de la variable adjunta a sitios idénticos. ^{[ 4 ]} Esto se debe a que la contracción de Asano elimina esencialmente todos los términos donde los espines en un sitio son distintos en el${\displaystyle P(z_{\Lambda _{1}})}$y${\displaystyle P(z_{\Lambda _{2}})}$.

Ruelle también ha utilizado contracciones de Asano para encontrar información sobre la ubicación de las raíces de una generalización de polinomios de emparejamiento que denomina polinomios de conteo de grafos. Asigna una variable a cada arista. Para cada vértice, calcula un polinomio simétrico en las variables correspondientes a las aristas incidentes en ese vértice. El polinomio simétrico contiene términos de grado igual al grado permitido para ese nodo. Luego multiplica estos polinomios simétricos y utiliza contracciones de Asano para conservar solo los términos donde la arista está presente en ambos extremos. Mediante el teorema de Grace-Walsh-Szegő y la intersección de todos los conjuntos que se pueden obtener, Ruelle proporciona conjuntos que contienen las raíces de varios tipos de estos polinomios simétricos. Dado que el polinomio de conteo de grafos se obtuvo a partir de estos mediante contracciones de Asano, la mayor parte del trabajo restante consiste en calcular productos de estos conjuntos. ^{[ 5 ]}