Función de Legendre

En física y matemáticas, las funciones de Legendre P _λ , Q _λ y las funciones asociadas P ^μ _λ , Q ^μ _λ , así como las funciones de Legendre de segunda especie , Q _n , son todas soluciones de la ecuación diferencial de Legendre. Los polinomios de Legendre y los polinomios asociados también son soluciones de la ecuación diferencial en casos especiales, los cuales, por su naturaleza polinómica, poseen numerosas propiedades adicionales, una estructura matemática compleja y diversas aplicaciones. Para más información sobre estas soluciones polinómicas, consulte los artículos correspondientes de Wikipedia.

La ecuación general de Legendre se lee así: $${\displaystyle \left(1-x^{2}\right)y''-2xy'+\left[\lambda (\lambda +1)-{\frac {\mu ^{2}}{1-x^{2}}}\right]y=0,}$$ donde los números λ y μ pueden ser complejos, y se denominan grado y orden de la función correspondiente, respectivamente. Las soluciones polinómicas cuando λ es un entero (denotado n ), y μ = 0 son los polinomios de Legendre P _n ; y cuando λ es un entero (denotado n ), y μ = m es también un entero con | m | < n son los polinomios de Legendre asociados. Todos los demás casos de λ y μ pueden discutirse como uno solo, y las soluciones se escriben P ^μ _λ , Q ^μ _λ . Si μ = 0 , se omite el superíndice, y se escribe simplemente P _λ , Q _λ . Sin embargo, la solución Q _λ cuando λ es un entero a menudo se discute por separado como la función de Legendre de segundo tipo, y se denota Q _n .

Se trata de una ecuación lineal de segundo orden con tres puntos singulares regulares (en 1 , -1 e infinito ). Como todas las ecuaciones de este tipo, puede transformarse en una ecuación diferencial hipergeométrica mediante un cambio de variable, y sus soluciones pueden expresarse mediante funciones hipergeométricas .

Dado que la ecuación diferencial es lineal, homogénea (el lado derecho = cero) y de segundo orden, tiene dos soluciones linealmente independientes, que pueden expresarse en términos de la función hipergeométrica ,${\displaystyle _{2}F_{1}}$. Con${\displaystyle \Gamma }$Siendo la función gamma , la primera solución es $${\displaystyle P_{\lambda }^{\mu }(z)={\frac {1}{\Gamma (1-\mu )}}\left[{\frac {z+1}{z-1}}\right]^{\mu /2}\,_{2}F_{1}\left(-\lambda ,\lambda +1;1-\mu$$ ;{\frac {1-z}{2}}\right),\qquad {\text{para }}\ |1-z|<2,} y el segundo es $${\displaystyle Q_{\lambda }^{\mu }(z)={\frac {{\sqrt {\pi }}\ \Gamma (\lambda +\mu +1)}{2^{\lambda +1}\Gamma (\lambda +3/2)}}{\frac {e^{i\mu \pi }(z^{2}-1)^{\mu /2}}{z^{\lambda +\mu +1}}}\,_{2}F_{1}\left({\frac {\lambda +\mu +1}{2}},{\frac {\lambda +\mu +2}{2}};\lambda +{\frac {3}{2}};{\frac {1}{z^{2}}}\right),\qquad {\text{para}}\ \ |z|>1.}$$

Estas se conocen generalmente como funciones de Legendre de primer y segundo tipo de grado no entero, con el calificador adicional 'asociadas' si μ es distinto de cero. Una relación útil entre las soluciones P y Q es la fórmula de Whipple .

La solución no polinómica para el caso especial de grado entero ${\displaystyle \lambda =n\in \mathbb {N} _{0}}$, y${\displaystyle \mu =0}$, a menudo se discute por separado. Se da por $${\displaystyle Q_{n}(x)={\frac {n!}{1\cdot 3\cdots (2n+1)}}\left(x^{-(n+1)}+{\frac {(n+1)(n+2)}{2(2n+3)}}x^{-(n+3)}+{\frac {(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)}{2\cdot 4(2n+3)(2n+5)}}x^{-(n+5)}+\cdots \right)}$$

Esta solución es necesariamente singular cuando${\displaystyle x=\pm 1}$.

Las funciones de Legendre de segundo tipo también pueden definirse recursivamente mediante la fórmula de recursión de Bonnet.$${\displaystyle Q_{n}(x)={\begin{cases}{\frac {1}{2}}\log {\frac {1+x}{1-x}}&n=0\\P_{1}(x)Q_{0}(x)-1&n=1\\{\frac {2n-1}{n}}xQ_{n-1}(x)-{\frac {n-1}{n}}Q_{n-2}(x)&n\geq 2\,.\end{cases}}}$$

La solución no polinómica para el caso especial de grado entero${\displaystyle \lambda =n\in \mathbb {N} _{0}}$, y${\displaystyle \mu =m\in \mathbb {N} _{0}}$es dado por $${\displaystyle Q_{n}^{m}(x)=(-1)^{m}(1-x^{2})^{\frac {m}{2}}{\frac {d^{m}}{dx^{m}}}Q_{n}(x)\,.}$$

Las funciones de Legendre se pueden escribir como integrales de contorno. Por ejemplo, $${\displaystyle P_{\lambda }(z)=P_{\lambda }^{0}(z)={\frac {1}{2\pi i}}\int _{1,z}{\frac {(t^{2}-1)^{\lambda }}{2^{\lambda }(t-z)^{\lambda +1}}}dt}$$ donde el contorno se enrolla alrededor de los puntos 1 y z en la dirección positiva y no se enrolla alrededor de −1 . Para x real , tenemos $${\displaystyle P_{s}(x)={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }\left(x+{\sqrt {x^{2}-1}}\cos \theta \right)^{s}d\theta ={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{1}\left(x+{\sqrt {x^{2}-1}}(2t-1)\right)^{s}{\frac {dt}{\sqrt {t(1-t)}}},\qquad s\in \mathbb {C} }$$

La representación integral real de${\displaystyle P_{s}}$son muy útiles en el estudio del análisis armónico en${\displaystyle L^{1}(G//K)}$dónde${\displaystyle G//K}$es el espacio de clases laterales dobles de${\displaystyle SL(2,\mathbb {R} )}$(véase Función esférica zonal ). En realidad, la transformada de Fourier en${\displaystyle L^{1}(G//K)}$es dado por $${\displaystyle L^{1}(G//K)\ni f\mapsto {\hat {f}}}$$ dónde $${\displaystyle {\hat {f}}(s)=\int _{1}^{\infty }f(x)P_{s}(x)dx,\qquad -1\leq \Re (s)\leq 0}$$

Las funciones de Legendre P _λ de grado no entero no están acotadas en el intervalo [-1, 1]. En aplicaciones físicas, esto suele constituir un criterio de selección. De hecho, dado que las funciones de Legendre Q _λ de segunda especie siempre no están acotadas, para que exista una solución acotada de la ecuación de Legendre, el grado debe ser entero: solo para grado entero, las funciones de Legendre de primera especie se reducen a polinomios de Legendre, que están acotados en [-1, 1]. Se puede demostrar ^{[ 2 ]} que la singularidad de las funciones de Legendre P _λ para grado no entero es consecuencia de la simetría especular de la ecuación de Legendre. Por lo tanto, existe una simetría bajo la regla de selección antes mencionada.

• Función de Ferrers

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• Función P de Legendre en el sitio web de funciones de Wolfram.
• Función Q de Legendre en el sitio web de funciones de Wolfram.
• Función de Legendre asociada P en el sitio web de funciones de Wolfram.
• Función Q de Legendre asociada en el sitio web de funciones de Wolfram.