ecuación de asociatividad

Dejar${\displaystyle E}$Sea un intervalo real (finito o infinito) que sea abierto por al menos un lado, y sea ${\displaystyle F\colon E^{2}\to E}$ser continua y estrictamente creciente en cada argumento. Un teorema clásico (a menudo atribuido a Aczél) establece que tal${\displaystyle F}$es asociativa si y solo si existe una función continua estrictamente monótona.${\displaystyle f\colon E\to \mathbb {R} }$de tal manera que

${\displaystyle F(x,y)=f^{-1}{\bigl (}f(x)+f(y){\bigr )}\quad {\text{para todo }}x,y\in E.}$^{[ 3 ] [ 4 ] [ 6 ]}

Así, salvo un cambio monótono de variable, toda solución continua estrictamente creciente de la ecuación de asociatividad en un intervalo real es isomorfa a la suma ordinaria en un intervalo real (posiblemente diferente). La elección de${\displaystyle f}$es único salvo multiplicación por una constante distinta de cero.

Algunos ejemplos sencillos son:

• ${\displaystyle F(x,y)=x+y}$en cualquier intervalo estable bajo adición (aquí${\displaystyle f(x)=x}$),
• ${\displaystyle F(x,y)=xy}$en los reales positivos (aquí)${\displaystyle f(x)=\log x}$), y
• De manera más general, cualquier operación obtenida a partir de la suma mediante la conjugación con un homeomorfismo estrictamente monótono del intervalo.

Estos semigrupos a veces se denominan aczélianos o representables aditivamente . ^{[ 6 ]}

La clasificación de las operaciones asociativas continuas que son simplemente no decrecientes (en lugar de estrictamente crecientes) es más compleja. Para las funciones${\displaystyle M\colon [a,b]^{2}\to [a,b]}$que son continuas, no decrecientes y asociativas, y satisfacen condiciones de contorno naturales que expresan la existencia de una identidad y la ausencia de idempotentes no triviales, se obtienen teoremas de representación en términos de los llamados generadores aditivos . ^{[ 7 ] [ 6 ]}

Por ejemplo, supongamos que${\displaystyle M}$es continua, no decreciente y asociativa en${\displaystyle [a,b]}$y que${\displaystyle b}$actúa como una identidad mientras${\displaystyle ]a,b[}$no contiene elementos idempotentes. Entonces existe una función continua estrictamente decreciente.${\displaystyle f\colon [a,b]\to [0,+\infty ]}$con${\displaystyle f(b)=0}$de tal manera que

${\displaystyle M(x,y)=f^{-1}\!{\bigl (}\min(f(x)+f(y),f(a)){\bigr )}}$

a pesar de${\displaystyle x,y\in [a,b]}$(hasta una equivalencia natural en la elección del generador). ^{[ 6 ]} Dependiendo de si${\displaystyle f(a)}$es finito o infinito, esto produce familias de operaciones bien conocidas relacionadas con la t-norma del producto y la t-norma de Łukasiewicz , después de un reescalado adecuado del intervalo.

Declaraciones duales, donde${\displaystyle a}$es una identidad y${\displaystyle b}$desempeña el papel de un cero, describe operaciones asociativas disyuntivas que están estrechamente relacionadas con las t-conormas estándar . ^{[ 6 ]}

De manera más general, las operaciones asociativas continuas no decrecientes en un intervalo compacto pueden construirse como sumas ordinales de dichos bloques básicos junto con las operaciones puntuales de mínimo y máximo. ^{[ 5 ] [ 6 ]}

En lógica difusa y teoría de funciones de agregación , a menudo se estudian operaciones binarias.${\displaystyle M\colon [0,1]^{2}\to [0,1]}$que sean asociativas, monótonas y satisfagan condiciones de contorno específicas, como por ejemplo:

${\displaystyle M(0,x)=0,\quad M(1,x)=x,}$

o sus duales. Las operaciones asociativas continuas de este tipo son exactamente las t-normas y t-conormas continuas utilizadas para modelar la conjunción y disyunción lógicas generalizadas , respectivamente. ^{[ 8 ] [ 6 ]}

La ecuación de asociatividad, junto con las suposiciones de monotonicidad y continuidad, desempeña un papel central en la caracterización de estas clases de operadores de agregación y en el estudio de sus generadores y sumas ordinales. ^{[ 6 ] [ 9 ]}

En los fundamentos de la probabilidad bayesiana y el teorema de Cox , se considera una medida de plausibilidad de valor real sobre proposiciones y se busca una operación binaria que combine plausibilidades de la forma${\displaystyle F(x,y)}$que corresponde a la conjunción lógica. Exigir que esta operación sea asociativa (como lo es la conjunción), monótona y compatible con las restricciones lógicas básicas conduce a la ecuación de asociatividad para${\displaystyle F}$Bajo supuestos de regularidad adecuados, existe una regradación monótona.${\displaystyle w}$de tal manera que

${\displaystyle w(F(x,y))=w(x)\,w(y),}$

de modo que en la escala regradada la operación se convierte en una multiplicación ordinaria y se recupera la regla de producto usual de la teoría de la probabilidad. ^{[ 10 ] [ 1 ] [ 4 ]}

Cuando sea${\displaystyle F\colon X\times X\to X}$satisface la ecuación de asociatividad, el par${\displaystyle (X,F)}$es un semigrupo . Por el contrario, muchos resultados estructurales sobre semigrupos topológicos u ordenados pueden formularse como resultados de ecuaciones funcionales sobre operaciones asociativas que satisfacen continuidad, preservación del orden u otras restricciones. ^{[ 4 ] [ 5 ] [ 6 ]}

Por ejemplo, los semigrupos cancelativos continuos en intervalos reales a menudo pueden representarse, salvo isomorfismo, mediante la adición en un intervalo a través de un cambio de variable monótono, como en el caso estrictamente creciente descrito anteriormente.