Dimensión de Assouad

En matemáticas —específicamente , en geometría fractal— la dimensión de Assouad es una definición de dimensión fractal para subconjuntos de un espacio métrico . Fue introducida por Patrice Assouad en su tesis doctoral de 1977 y publicada posteriormente en 1979, ^{[ 1 ]} aunque la misma noción había sido estudiada en 1928 por Georges Bouligand . ^{[ 2 ]} Además de utilizarse para estudiar fractales, la dimensión de Assouad también se ha utilizado para estudiar aplicaciones cuasiconformes y problemas de incrustabilidad .

La dimensión Assouad de${\displaystyle X,d_{A}(X)}$, es el ínfimo de todos${\displaystyle s}$de tal manera que${\displaystyle (X,\varsigma )}$es${\displaystyle (M,s)}$-homogéneo para algunos${\displaystyle M\geq 1}$. ^{[ 3 ]}

Dejar${\displaystyle (X,d)}$Sea X un espacio métrico , y sea E un subconjunto no vacío de X. Para r > 0 , sea${\displaystyle N_{r}(E)}$denota el menor número de bolas abiertas métricas de radio menor o igual a r con las que es posible cubrir el conjunto E. La dimensión de Assouad de E se define como el ínfimo.${\displaystyle \alpha \geq 0}$para las cuales existen constantes positivas C y${\displaystyle \rho }$para que, siempre $${\displaystyle 0<r<R\leq \rho ,}$$ Se cumple la siguiente restricción: $${\displaystyle \sup _{x\in E}N_{r}(B_{R}(x)\cap E)\leq C\left({\frac {R}{r}}\right)^{\alpha }.}$$

La intuición subyacente a esta definición es que, para un conjunto E con dimensión entera "ordinaria" n , el número de bolas pequeñas de radio r necesarias para cubrir la intersección de una bola más grande de radio R con E escalará como ( R / r ) ⁿ .

• La dimensión de Assouad de un espacio métrico siempre es mayor o igual que su dimensión de Assouad-Nagata . ^{[ 4 ]}
• La dimensión de Assouad de un espacio métrico siempre es mayor o igual que su dimensión de caja superior , que a su vez es mayor o igual que la dimensión de Hausdorff . ^{[ 5 ]}
• La dimensión de recubrimiento de Lebesgue de un espacio metrizable X es la dimensión de Assouad mínima de cualquier métrica en X. En particular, para cada espacio metrizable existe una métrica para la cual la dimensión de Assouad es igual a la dimensión de recubrimiento de Lebesgue. ^{[ 5 ]}

• Fraser, Jonathan M. (2020). Dimensión de Assouad y geometría fractal . Cambridge University Press. doi : 10.1017/9781108778459 . ISBN 9781108478656. S2CID 218571013 .