Media supuesta

En estadística , la media supuesta es un método para calcular la media aritmética y la desviación estándar de un conjunto de datos. Simplifica el cálculo manual de valores precisos. Su interés actual es principalmente histórico, pero puede utilizarse para estimar rápidamente estas estadísticas. Existen otros métodos de cálculo rápido más adecuados para ordenadores que garantizan resultados más precisos que los métodos obvios. En cierto modo, se trata de un algoritmo .

Primero: Se busca la media de los siguientes números:

219, 223, 226, 228, 231, 234, 235, 236, 240, 241, 244, 247, 249, 255, 262

Supongamos que partimos de una estimación inicial plausible de que la media es aproximadamente 240. Entonces, las desviaciones de esta media "supuesta" son las siguientes:

− 21, − 17, − 14, − 12, − 9, − 6 , − 5, − 4, 0, 1, 4, 7, 9, 15, 22

Al sumar estos valores, se obtiene que:

22 y − 21 casi se cancelan, dejando +1,

15 y − 17 casi se cancelan, dejando − 2,

9 y − 9 se cancelan,

7 + 4 cancela − 6 − 5,

y así sucesivamente. Nos queda una suma de −30 . El promedio de estas 15 desviaciones de la media supuesta es, por lo tanto , −30/15 = −2 . Por consiguiente, eso es lo que debemos sumar a la media supuesta para obtener la media correcta:   

media correcta = 240 − 2 = 238.

El método se basa en estimar la media y redondearla a un valor fácil de calcular. Este valor se resta de todos los valores de la muestra. Cuando las muestras se clasifican en rangos de igual tamaño, se elige una clase central y se utiliza el número de rangos que la componen en los cálculos. Por ejemplo, para la estatura de las personas, se podría usar un valor de 1,75 m como media estimada.

Para un conjunto de datos con media supuesta x _{= 0,} supongamos:

${\displaystyle d_{i}=x_{i}-x_{0}\,}$

${\displaystyle A=\sum _{i=1}^{N}d_{i}\,}$

${\displaystyle B=\sum _{i=1}^{N}d_{i}^{2}\,}$

${\displaystyle D={\frac {A}{N}}\,}$

Entonces

${\displaystyle {\overline {x}}=x_{0}+D\,}$

${\displaystyle \sigma ={\sqrt {\frac {B-ND^{2}}{N}}}\,}$

o para una desviación estándar de muestra utilizando la corrección de Bessel :

${\displaystyle \sigma ={\sqrt {\frac {B-ND^{2}}{N-1}}}\,}$

Cuando se dispone de un gran número de muestras, se puede obtener una estimación rápida y razonable de la media y la desviación estándar agrupando las muestras en clases con rangos de tamaño igual. Esto introduce un error de cuantificación, pero suele ser suficientemente preciso para la mayoría de los casos si se utilizan 10 o más clases.

Por ejemplo, con la excepción de,

167.8 175.4 176.1 166 174.7 170.2 178.9 180.4 174.6 174.5 182.4 173.4 167.4 170.7 180.6 169.6 176.2 176.3 175.1 178.7 167.2 180.2 180.3 164.7 167.9 179.6 164.9 173.2 180.3 168 175.5 172.9 182.2 166.7 172.4 181.9 175.9 176.8 179.6 166 171.5 180.6 175.5 173.2 178.8 168.3 170.3 174.2 168 172.6 163.3 172.5 163.4 165.9 178.2 174.6 174.3 170.5 169.7 176.2 175.1 177 173.5 173.6 174.3 174.4 171.1 173.3 164.6 173 177.9 166.5 159.6 170.5 174.7 182 172.7 175.9 171.5 167.1 176.9 181.7 170.7 177.5 170,9 178,1 174,3 173,3 169,2 178,2 179,4 187,6 186,4 178,1 174 177,1 163,3 178,1 179,1 175,6

Los valores mínimo y máximo son 159,6 y 187,6. Podemos agruparlos redondeando los números hacia abajo. El tamaño de la clase (CS) es 3. La media supuesta es el punto medio del rango de 174 a 177, que es 175,5. Las diferencias se cuentan en clases.

La media se estima entonces en

${\displaystyle x_{0}+CS\times {\frac {A}{N}}=175.5+3\times -55/100=173.85}$

lo cual está muy cerca de la media real de 173,846.

La desviación estándar se estima como

${\displaystyle CS{\sqrt {\frac {B-{\frac {A^{2}}{N}}}{N-1}}}=5.57}$