Análisis asintótico

En análisis matemático , el análisis asintótico , también conocido como asintótica , es el desarrollo y la aplicación de métodos que generan una solución analítica aproximada a un problema matemático cuando una variable o parámetro toma un valor grande, pequeño o cercano a un valor especificado. ^{[ 1 ]}

Un ejemplo de análisis asintótico es la aproximación de funciones. Por ejemplo, la función${\textstyle {\widetilde {y}}(x)=x}$aproxima con precisión la función${\textstyle y(x)=x+e^{-x}}$para grandes positivos${\textstyle x}$valores (Figura 1). Para cualquier precisión deseada, existe un rango correspondiente de${\textstyle x}$valores donde se produce esta precisión. En este caso, se produce una precisión elegida con un error relativo inferior al 1% cuando el${\textstyle x}$los valores son mayores que 3,4.

El teorema de los números primos es un ejemplo de un importante resultado asintótico. Para cualquier número real${\textstyle x}$, la función de conteo de números primos, denotada como${\textstyle \operatorname {\pi } (x)}$, es el número de números primos menores o iguales a${\textstyle x}$. La función,${\textstyle x/\ln(x)}$, se aproxima a la función de conteo de números primos para números grandes${\textstyle x}$. Como en el ejemplo anterior, como el número${\textstyle x}$A medida que aumenta el tamaño, la función de aproximación se vuelve cada vez más precisa, lo que conduce a un error relativo cada vez menor. Esta relación asintótica se expresa utilizando la siguiente notación: $${\displaystyle \pi (x)\sim {\frac {x}{\ln(x)}}\quad (x\to \infty )}$$

El análisis asintótico tiene un impacto en muchas áreas de las matemáticas. Los matemáticos lo utilizan para calcular aproximaciones de funciones , funciones implícitas , integrales , funciones iteradas , sumas de series , sumas parciales , soluciones de ecuaciones en diferencias , soluciones de ecuaciones diferenciales y propiedades de algoritmos informáticos . ^{[ 2 ] [ 3 ] [ 4 ] [ 5 ]}

Formalmente, dadas las funciones f ( x ) y g ( x ) , definimos una relación binaria.$${\displaystyle f(x)\sim g(x)\quad ({\text{cuando }}x\to \infty )}$$si y sólo si ( de  Bruijn 1981 , §1.4)$${\displaystyle \lim _{x\to \infty }{\frac {f(x)}{g(x)}}=1.}$$

El símbolo ~ es la tilde . La relación es una relación de equivalencia en el conjunto de funciones de x ; se dice que las funciones f y g son asintóticamente equivalentes . El dominio de f y g puede ser cualquier conjunto para el cual el límite esté definido: por ejemplo, números reales, números complejos, enteros positivos.

La misma notación se utiliza también para otras formas de pasar a un límite: por ejemplo, x → 0 , x ↓ 0 , | x | → 0. La forma de pasar al límite a menudo no se indica explícitamente, si queda clara por el contexto.

Aunque la definición anterior es común en la literatura, es problemática si g ( x ) es cero infinitas veces cuando x tiende al valor límite. Por esa razón, algunos autores utilizan una definición alternativa. La definición alternativa, en notación de o minúscula , es que f ~ g si y solo si $${\displaystyle f(x)=g(x)(1+o(1)).}$$

Esta definición es equivalente a la definición anterior si g ( x ) no es cero en algún entorno del valor límite. ^{[ 5 ] : §1.2}

La función cero,${\textstyle f(z)=0}$, nunca puede ser equivalente a ninguna otra función. ^{[ 6 ]}

La relación de o minúscula tiene la propiedad de orden parcial definida como si${\textstyle f(x)=o(g(x))}$y${\textstyle g(x)=o(h(x))}$entonces${\textstyle f(x)=o(h(x))}$. ^{[ 6 ]}

La equivalencia asintótica posee propiedades reflexivas , simétricas y transitivas .

Si estas funciones son equivalentes,${\textstyle f(x)\sim g(x)\,(x\to L)}$, luego las funciones exponenciadas a la potencia real${\textstyle r}$también son equivalentes: ^{[ 7 ]}$${\displaystyle (f(x))^{r}\sim (g(x))^{r}\ (x\to L)}$$

Si estas funciones son equivalentes${\textstyle f(x)\sim g(x)\,(x\to L)}$y estas funciones son equivalentes${\textstyle h(x)\sim k(x)\,(x\to L)}$, entonces los cocientes son equivalentes: ^{[ 7 ]}$${\displaystyle {\frac {f(x)}{h(x)}}\sim {\frac {g(x)}{k(x)}}\ (x\to L)}$$ Estas propiedades permiten intercambiar libremente funciones asintóticamente equivalentes en muchas expresiones algebraicas.

Las funciones asintóticamente equivalentes siguen siendo asintóticamente equivalentes bajo integración si se cumplen los requisitos relacionados con la convergencia. Existen requisitos más estrictos para que las funciones asintóticamente equivalentes sigan siéndolo bajo diferenciación . ^{[ 8 ]}

• Factorial$${\displaystyle n!\sim {\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}}$$—Esta es la aproximación de Stirling
• Función de partición
  Para un entero positivo n , la función de partición, p ( n ), da el número de maneras de escribir el entero n como una suma de enteros positivos, donde no se considera el orden de los sumandos.$${\displaystyle p(n)\sim {\frac {1}{4n{\sqrt {3}}}}e^{\pi {\sqrt {\frac {2n}{3}}}}}$$
• Función de aire
  La función de Airy, Ai( x ), es una solución de la ecuación diferencial y ″ − xy = 0 ; tiene muchas aplicaciones en física.$${\displaystyle \operatorname {Ai} (x)\sim {\frac {e^{-{\frac {2}{3}}x^{\frac {3}{2}}}}{2{\sqrt {\pi }}x^{1/4}}}}$$
• Funciones de Hankel$${\displaystyle {\begin{aligned}H_{\alpha }^{(1)}(z)&\sim {\sqrt {\frac {2}{\pi z}}}e^{i\left(z-{\frac {2\pi \alpha -\pi }{4}}\right)}\\H_{\alpha }^{(2)}(z)&\sim {\sqrt {\frac {2}{\pi z}}}e^{-i\left(z-{\frac {2\pi \alpha -\pi }{4}}\right)}\end{aligned}}}$$

En la práctica, una expansión asintótica de una función f ( x ) es una expresión de dicha función en términos de una serie , cuyas sumas parciales no necesariamente convergen, pero de tal manera que cualquier suma parcial inicial proporciona una fórmula asintótica para f . La idea es que los términos sucesivos ofrecen una descripción cada vez más precisa del orden de crecimiento de f .

En símbolos, significa que tenemos${\displaystyle f\sim g_{1},}$pero también${\displaystyle f-g_{1}\sim g_{2}}$y${\displaystyle f-g_{1}-\cdots -g_{k-1}\sim g_{k}}$para cada k fijo . En vista de la definición de la${\displaystyle \sim }$símbolo, la última ecuación significa${\displaystyle f-(g_{1}+\cdots +g_{k})=o(g_{k})}$en la notación de o minúscula , es decir,${\displaystyle f-(g_{1}+\cdots +g_{k})}$es mucho más pequeño que${\displaystyle g_{k}.}$

La relación${\displaystyle f-g_{1}-\cdots -g_{k-1}\sim g_{k}}$adquiere su significado completo si${\displaystyle g_{k+1}=o(g_{k})}$para todo k , lo que significa que${\displaystyle g_{k}}$formar una escala asintótica . En ese caso, algunos autores pueden escribir de forma abusiva${\displaystyle f\sim g_{1}+\cdots +g_{k}}$para denotar la declaración${\displaystyle f-(g_{1}+\cdots +g_{k})=o(g_{k}).}$Sin embargo, hay que tener cuidado de que este no sea un uso estándar del${\displaystyle \sim }$símbolo, y que no se corresponde con la definición dada en el §  Definición .

En la situación actual, esta relación${\displaystyle g_{k}=o(g_{k-1})}$en realidad se deduce de la combinación de los pasos k y k −1; restando${\displaystyle f-g_{1}-\cdots -g_{k-2}=g_{k-1}+o(g_{k-1})}$de${\displaystyle f-g_{1}-\cdots -g_{k-2}-g_{k-1}=g_{k}+o(g_{k}),}$uno consigue${\displaystyle g_{k}+o(g_{k})=o(g_{k-1}),}$es decir${\displaystyle g_{k}=o(g_{k-1}).}$

En caso de que el desarrollo asintótico no converja, para cualquier valor del argumento existirá una suma parcial específica que proporciona la mejor aproximación, y añadir términos adicionales disminuirá la precisión. Esta suma parcial óptima generalmente tendrá más términos a medida que el argumento se aproxime al valor límite.

En estadística matemática , una distribución asintótica es una distribución hipotética que, en cierto sentido, es la distribución "límite" de una secuencia de distribuciones. Una distribución es un conjunto ordenado de variables aleatorias Z _i para i = 1, …, n , donde n es un entero positivo . Una distribución asintótica permite que i varíe sin límite, es decir, n es infinito.

Un caso especial de distribución asintótica se da cuando las entradas tardías tienden a cero; es decir, Z _i tiende a 0 cuando i tiende a infinito. Algunas expresiones de "distribución asintótica" se refieren únicamente a este caso especial.

Esto se basa en la noción de una función asintótica que se aproxima limpiamente a un valor constante (la asíntota ) a medida que la variable independiente tiende al infinito; "limpiamente" en este sentido significa que para cualquier proximidad deseada épsilon existe algún valor de la variable independiente después del cual la función nunca difiere de la constante en más de épsilon.

Una asíntota es una línea recta a la que una curva se aproxima pero que nunca alcanza ni cruza. De manera informal, se puede decir que la curva alcanza la asíntota "en el infinito", aunque esta no es una definición precisa. En la ecuación${\displaystyle y={\frac {1}{x}},}$La magnitud de y se vuelve arbitrariamente pequeña a medida que x aumenta.

El análisis asintótico se utiliza en diversas ciencias matemáticas . En estadística , la teoría asintótica proporciona aproximaciones límite de la distribución de probabilidad de las estadísticas muestrales , como el estadístico de razón de verosimilitud y el valor esperado de la desviación . Sin embargo, la teoría asintótica no proporciona un método para evaluar las distribuciones de muestras finitas de las estadísticas muestrales. Los métodos de la teoría de la aproximación proporcionan cotas no asintóticas .

A continuación se muestran algunos ejemplos de aplicaciones.

• En matemáticas aplicadas , el análisis asintótico se utiliza para construir métodos numéricos que permitan aproximar las soluciones de ecuaciones .
• En estadística matemática y teoría de la probabilidad , las asintóticas se utilizan en el análisis del comportamiento a largo plazo o en muestras grandes de variables aleatorias y estimadores.
• En informática , el análisis de algoritmos evalúa el rendimiento de los algoritmos y se expresa en términos de la notación O grande .
• El comportamiento de los sistemas físicos , un ejemplo de ello es la mecánica estadística .
• En el análisis de accidentes , al identificar la causa de un choque mediante modelos de conteo con un gran número de conteos de choques en un tiempo y espacio determinados.

El análisis asintótico es una herramienta clave para explorar las ecuaciones diferenciales ordinarias y parciales que surgen en la modelización matemática de fenómenos del mundo real. ^{[ 9 ]} Un ejemplo ilustrativo es la derivación de las ecuaciones de la capa límite a partir de las ecuaciones completas de Navier-Stokes que rigen el flujo de fluidos. En muchos casos, la expansión asintótica se expresa como una potencia de un parámetro pequeño, ε : en el caso de la capa límite, este es la relación adimensional entre el espesor de la capa límite y una escala de longitud típica del problema. De hecho, las aplicaciones del análisis asintótico en la modelización matemática a menudo se centran en un parámetro adimensional que se ha demostrado, o se ha supuesto, que es pequeño al considerar las escalas del problema en cuestión. ^{[ 9 ]}

Las expansiones asintóticas suelen surgir en la aproximación de ciertas integrales ( método de Laplace , método del punto de silla , método del descenso más pronunciado ) o en la aproximación de distribuciones de probabilidad ( series de Edgeworth ). Los gráficos de Feynman en la teoría cuántica de campos son otro ejemplo de expansiones asintóticas que a menudo no convergen.

• Balser, W. (1994), De las series de potencias divergentes a las funciones analíticas , Springer-Verlag , ISBN 9783540485940
• de Bruijn, NG (1981), Métodos asintóticos en análisis , Publicaciones de Dover , ISBN 9780486642215
• Estrada, R.; Kanwal, RP (2012), Un enfoque distribucional de la asintótica , Birkhäuser , ISBN 9780817681302
• Howison, Sam (2005). Matemáticas prácticas aplicadas: modelado, análisis y aproximación . Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-84274-7.
• Miller, PD (2006), Análisis asintótico aplicado , Sociedad Matemática Americana , ISBN 9780821840788
• Murray, JD (2012). Análisis asintótico . Springer Science & Business Media. ISBN 978-1-4612-1122-8.
• Olver, Frank William John. (1974). Introducción a la asintótica y las funciones especiales . Nueva York: Academic Press. ISBN 0-12-525856-9.
• París, RB; Kaminsky, D. (2001), Asintótica e integrales de Mellin-Barnes , Cambridge University Press
• Paulsen, William (2013). Análisis asintótico y teoría de perturbaciones . CRC Press. ISBN 978-1-4665-1512-3.

• Análisis asintótico  — página principal de la revista, publicada por IOS Press
• Un artículo sobre análisis de series temporales utilizando la distribución asintótica