Dimensión asintótica

En geometría métrica , la dimensión asintótica de un espacio métrico es un análogo a gran escala de la dimensión de recubrimiento de Lebesgue . La noción de dimensión asintótica fue introducida por Mikhail Gromov en su monografía de 1993 Invariantes asintóticos de grupos infinitos ^[1] en el contexto de la teoría geométrica de grupos , como un invariante cuasi-isométrico de grupos finitamente generados. Como lo muestra Guoliang Yu , los grupos finitamente generados de tipo homotópico finito con dimensión asintótica finita satisfacen la conjetura de Novikov . ^[2] La dimensión asintótica tiene aplicaciones importantes en el análisis geométrico y la teoría de índices .

Sea un espacio métrico y un entero. Decimos que si para cada existe una cubierta uniformemente acotada de tal que cada bola cerrada en interseca como máximo subconjuntos de . Aquí "uniformemente acotado" significa que . ${\estilo de visualización X}$${\displaystyle n\geq 0}$${\displaystyle \nombre del operador {asdim} (X)\leq n}$${\displaystyle R\geq 1}$${\displaystyle {\mathcal {U}}}$${\estilo de visualización X}$${\estilo de visualización R}$${\estilo de visualización X}$${\estilo de visualización n+1}$${\displaystyle {\mathcal {U}}}$${\displaystyle \sup _{U\in {\mathcal {U}}}\operatorname {diámetro} (U)<\infty }$

Luego definimos la dimensión asintótica como el entero más pequeño tal que , si existe al menos uno de ellos , y definimos en caso contrario. ${\displaystyle \nombre del operador {asdim} (X)}$${\displaystyle n\geq 0}$${\displaystyle \nombre del operador {asdim} (X)\leq n}$${\estilo de visualización n}$${\displaystyle \operatorname {asdim} (X):=\infty }$

Además, se dice que una familia de espacios métricos satisface uniformemente si para cada y cada existe una cubierta de por conjuntos de diámetro como máximo (independiente de ) tal que cada bola cerrada en interseca como máximo subconjuntos de . ${\displaystyle (X_{i})_{i\in I}}$${\displaystyle \nombre del operador {asdim} (X)\leq n}$ ${\displaystyle R\geq 1}$${\displaystyle i\en I}$${\displaystyle {\mathcal {U}}_{i}}$$Estilo de visualización X_{i}}$${\displaystyle D(R)<\infty}$${\estilo de visualización i}$${\estilo de visualización R}$$Estilo de visualización X_{i}}$${\estilo de visualización n+1}$${\displaystyle {\mathcal {U}}_{i}}$

• Si es un espacio métrico de diámetro acotado entonces .${\estilo de visualización X}$${\displaystyle \nombre del operador {asdim} (X)=0}$
• ${\displaystyle \nombreoperador {asdim} (\mathbb {R} )=\nombreoperador {asdim} (\mathbb {Z} )=1}$.
• ${\displaystyle \nombreoperador {asdim} (\mathbb {R} ^{n})=n}$.
• ${\displaystyle \nombreoperador {asdim} (\mathbb {H} ^{n})=n}$.

• Si es un subespacio de un espacio métrico , entonces .${\displaystyle Y\subseteq X}$${\estilo de visualización X}$${\displaystyle \nombreoperador {asdim} (Y)\leq \nombreoperador {asdim} (X)}$
• Para cualquier espacio métrico y uno tiene .${\estilo de visualización X}$${\estilo de visualización Y}$${\displaystyle \nombreoperador {asdim} (X\times Y)\leq \nombreoperador {asdim} (X)+\nombreoperador {asdim} (Y)}$
• Si entonces .${\displaystyle A,B\subseteq X}$${\displaystyle \nombreoperador {asdim} (A\cup B)\leq \max\{\nombreoperador {asdim} (A),\nombreoperador {asdim} (B)\}}$
• Si es una incrustación gruesa (por ejemplo, una incrustación cuasi isométrica), entonces .${\displaystyle f:Y\to X}$${\displaystyle \nombreoperador {asdim} (Y)\leq \nombreoperador {asdim} (X)}$
• Si y son espacios métricos aproximadamente equivalentes (por ejemplo, espacios métricos cuasi isométricos), entonces .${\estilo de visualización X}$${\estilo de visualización Y}$${\displaystyle \nombreoperador {asdim} (X)=\nombreoperador {asdim} (Y)}$
• Si es un árbol real entonces .${\estilo de visualización X}$${\displaystyle \nombre del operador {asdim} (X)\leq 1}$
• Sea una función de Lipschitz de un espacio métrico geodésico a un espacio métrico . Supóngase que para cada familia de conjuntos satisface la desigualdad de manera uniforme. Entonces, véase ^[3]${\displaystyle f:X\to Y}$${\estilo de visualización X}$${\estilo de visualización Y}$${\displaystyle r>0}$${\displaystyle \{f^{-1}(B_{r}(y))\}_{y\in Y}}$${\displaystyle \nombre del operador {asdim} \leq n}$${\displaystyle \nombreoperador {asdim} (X)\leq \nombreoperador {asdim} (Y)+n.}$
• Si es un espacio métrico con entonces admite una incrustación gruesa (uniforme) en un espacio de Hilbert. ^[4]${\estilo de visualización X}$${\displaystyle \operatorname {asdim} (X)<\infty }$${\estilo de visualización X}$
• Si es un espacio métrico de geometría acotada con entonces admite una incrustación gruesa en un producto de árboles simpliciales localmente finitos. ^[5]${\estilo de visualización X}$${\displaystyle \nombre del operador {asdim} (X)\leq n}$${\estilo de visualización X}$${\estilo de visualización n+1}$

La dimensión asintótica alcanzó particular prominencia en la teoría de grupos geométricos después de un artículo de 1998 de Guoliang Yu ^[2] , que demostró que si es un grupo finitamente generado de tipo de homotopía finita (es decir, con un espacio de clasificación del tipo de homotopía de un complejo CW finito) tal que , entonces satisface la conjetura de Novikov . Como se mostró posteriormente, ^[6] los grupos finitamente generados con dimensión asintótica finita son topológicamente susceptibles , es decir, satisfacen la Propiedad A de Guoliang Yu introducida en ^[7] y equivalentes a la exactitud del C*-álgebra reducida del grupo. ${\estilo de visualización G}$${\displaystyle \operatorname {asdim} (G)<\infty }$${\estilo de visualización G}$

• Si es un grupo hiperbólico de palabras entonces . ^[8]${\estilo de visualización G}$${\displaystyle \operatorname {asdim} (G)<\infty }$
• Si es relativamente hiperbólico con respecto a subgrupos cada uno de los cuales tiene dimensión asintótica finita entonces . ^[9]${\estilo de visualización G}$${\displaystyle H_{1},\puntos ,H_{k}}$${\displaystyle \operatorname {asdim} (G)<\infty }$
• ${\displaystyle \nombreoperador {asdim} (\mathbb {Z} ^{n})=n}$.
• Si , donde son finitamente generados, entonces .${\displaystyle H\leq G}$${\estilo de visualización H,G}$${\displaystyle \nombre del operador {asdim} (H)\leq \nombre del operador {asdim} (G)}$
• Para el grupo de Thompson F tenemos ya que contiene subgrupos isomorfos a para arbitrariamente grande .${\displaystyle asdim(F)=\infty }$${\estilo de visualización F}$${\displaystyle \mathbb {Z} ^{n}}$${\estilo de visualización n}$
• Si es el grupo fundamental de un grafo finito de grupos con grafo subyacente y grupos de vértices generados finitamente, entonces ^[10]${\estilo de visualización G}$ ${\displaystyle \mathbb {A} }$${\displaystyle A}$

$${\displaystyle \operatorname {asdim} (G)\leq 1+\max _{v\in VY}\operatorname {asdim} (A_{v}).}$$

• Los grupos de clases de mapeo de superficies de tipo finito orientables tienen dimensión asintótica finita. ^[11]
• Sea un grupo de Lie conexo y sea un subgrupo discreto finitamente generado. Entonces . ^[12]${\displaystyle G}$${\displaystyle \Gamma \leq G}$${\displaystyle asdim(\Gamma )<\infty }$
• No se sabe si tiene dimensión asintótica finita para . ^[13]${\displaystyle Out(F_{n})}$${\displaystyle n>2}$