Algebroide de Atiyah

Para cualquier haz de fibra${\displaystyle P}$sobre un colector${\displaystyle M}$, el diferencial${\displaystyle d\pi }$de la proyección${\displaystyle \pi :P\to M}$define una secuencia corta y exacta:

${\displaystyle 0\to VP\to TP{\xrightarrow {d\pi }}\pi ^{*}TM\to 0}$

de haces vectoriales sobre${\displaystyle P}$donde el haz vertical${\displaystyle VP}$es el núcleo de${\displaystyle d\pi }$.

Si${\displaystyle P}$es un director${\displaystyle G}$-paquete, luego el grupo${\displaystyle G}$actúa sobre los haces vectoriales en esta secuencia. Además, dado que el haz vertical${\displaystyle VP}$es isomorfo al fibrado vectorial trivial${\displaystyle P\times {\mathfrak {g}}\to P}$, dónde${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$es el álgebra de Lie de${\displaystyle G}$, su cociente por la diagonal${\displaystyle G}$La acción es el conjunto adjunto${\displaystyle P\times _{G}{\mathfrak {g}}}$. En conclusión, el cociente por${\displaystyle G}$La secuencia exacta anterior produce una secuencia exacta corta:$${\displaystyle 0\to P\times _{G}{\mathfrak {g}}\to TP/G\to TM\to 0}$$de haces vectoriales sobre${\displaystyle P/G\cong M}$, que se llama la secuencia Atiyah de${\displaystyle P}$.

Recuerde que cualquier director${\displaystyle G}$-manojo${\displaystyle P\to M}$tiene un grupoide de Lie asociado , llamado su grupoide de calibre , cuyos objetos son puntos de${\displaystyle M}$y cuyos morfismos son elementos del cociente de${\displaystyle P\times P}$por la acción diagonal de${\displaystyle G}$, con origen y destino dados por las dos proyecciones de${\displaystyle M}$. Por definición, el algebroide de Atiyah de${\displaystyle P}$es el algebroide de Lie${\displaystyle A\to M}$de su grupoide de calibre.

Resulta que${\displaystyle A=TP/G}$, mientras que el mapa de anclaje${\displaystyle A\to TM}$viene dada por la diferencial${\displaystyle d\pi :TP\to TM}$, que es${\displaystyle G}$-invariante. Por último, el núcleo del ancla es isomorfo precisamente a${\displaystyle P\times _{G}{\mathfrak {g}}}$.

La secuencia Atiyah produce una secuencia corta exacta de${\displaystyle {\mathcal {C}}^{\infty }(M)}$-módulos tomando el espacio de secciones de los haces vectoriales. Más precisamente, las secciones del algebroide de Atiyah de${\displaystyle P}$es el álgebra de Lie de${\displaystyle G}$-campos vectoriales invariantes en${\displaystyle P}$bajo el corchete de Lie , que es una extensión del álgebra de Lie de campos vectoriales en${\displaystyle M}$por el${\displaystyle G}$-campos vectoriales verticales invariantes. En contextos algebraicos o analíticos, a menudo resulta conveniente ver la secuencia de Atiyah como una secuencia exacta de haces de secciones locales de fibrados vectoriales.

El algebroide Atiyah de un principal${\displaystyle G}$-manojo${\displaystyle P\to M}$siempre es:

• Transitivo (por lo que su órbita única es la totalidad)${\displaystyle M}$y su fibrado de álgebra de Lie isotrópica es el fibrado asociado${\displaystyle P\times _{G}{\mathfrak {g}}}$)
• Integrable (al grupoide de calibre de${\displaystyle P}$)

Cabe destacar que estas dos propiedades son independientes. Los álgebras de Lie integrables no tienen por qué ser transitivas; a la inversa, los álgebras de Lie transitivas (a menudo denominadas secuencias abstractas de Atiyah ) no son necesariamente integrables.

Si bien cualquier grupoide de Lie transitivo es isomorfo a algún grupoide de gauge, no todos los álgebroides de Lie transitivos son álgebroides de Atiyah de algún fibrado principal. La integrabilidad es la propiedad crucial para distinguir ambos conceptos: un álgebroide de Lie transitivo es integrable si y solo si es isomorfo al álgebroide de Atiyah de algún fibrado principal.

Aperturas a la derecha${\displaystyle \sigma :TM\to A}$de la secuencia Atiyah de un paquete principal${\displaystyle P\to M}$están en correspondencia biyectiva con conexiones principales en${\displaystyle P\to M}$. De manera similar, las curvaturas de dichas conexiones corresponden a las dos formas${\displaystyle \Omega _{\sigma }\in \Omega ^{2}(M,P[{\mathfrak {g}}])}$definido por:$${\displaystyle \Omega _{\sigma }(X,Y):=[\sigma (X),\sigma (Y)]_{A}-\sigma ([X,Y]_{{\mathfrak {X}}(M)})}$$

Cualquier morfismo${\displaystyle \phi :P\to P'}$de${\displaystyle G}$-los haces principales inducen un morfismo de algebroide de Lie${\displaystyle d\phi :TP/G\to TP'/G}$entre los respectivos algebroides de Atiyah.