Índice de Atkinson

El índice de Atkinson (también conocido como medida de Atkinson o medida de desigualdad de Atkinson ) es una medida de desigualdad de ingresos desarrollada por el economista británico Anthony Barnes Atkinson . Esta medida es útil para determinar qué extremo de la distribución contribuyó más a la desigualdad observada. ^{[ 1 ]}

El índice de Atkinson se define como:

${\displaystyle A_{\varepsilon }(y_{1},\ldots ,y_{N})={\begin{cases}1-{\frac {1}{\mu }}\left({\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}y_{i}^{1-\varepsilon }\right)^{1/(1-\varepsilon )}&{\mbox{para}}\ 0\leq \varepsilon \neq 1\\1-{\frac {1}{\mu }}\left(\prod _{i=1}^{N}y_{i}\right)^{1/N}&{\mbox{para}}\ \varepsilon =1\\1-{\frac {1}{\mu }}\min \left(y_{1},...,y_{N}\right)&{\mbox{para}}\ \varepsilon =+\infty \end{cases}}}$

dónde${\displaystyle y_{i}}$es el ingreso individual ( i = 1, 2, ..., N ) y${\displaystyle \mu }$es el ingreso medio .

En otras palabras, el índice de Atkinson es el complemento a 1 de la razón entre la media generalizada de Hölder de exponente 1−ε y la media aritmética de los ingresos (donde, como es habitual, la media generalizada de exponente 0 se interpreta como la media geométrica ).

El índice puede convertirse en una medida normativa imponiéndole un coeficiente.${\displaystyle \varepsilon }$para ponderar los ingresos. Se puede dar mayor peso a los cambios en una porción determinada de la distribución de ingresos eligiendo${\displaystyle \varepsilon }$, el nivel de "aversión a la desigualdad", apropiadamente. El índice de Atkinson se vuelve más sensible a los cambios en el extremo inferior de la distribución de ingresos a medida que${\displaystyle \varepsilon }$aumenta. Por el contrario, a medida que disminuye el nivel de aversión a la desigualdad (es decir, a medida que${\displaystyle \varepsilon }$a medida que se aproxima a 0) el índice de Atkinson se vuelve menos sensible a los cambios en el extremo inferior de la distribución. El índice de Atkinson no es para ningún valor de${\displaystyle \varepsilon }$altamente sensible a los ingresos más altos debido a la restricción común que${\displaystyle \varepsilon }$es no negativo. ^{[ 2 ]}

El Atkinson${\displaystyle \varepsilon }$El parámetro se denomina a menudo "parámetro de aversión a la desigualdad", ya que regula la sensibilidad de las pérdidas de bienestar social implícitas derivadas de la desigualdad a la desigualdad de ingresos, medida mediante un índice de entropía generalizada correspondiente. El índice de Atkinson se define en referencia a una función de bienestar social correspondiente, donde el ingreso medio multiplicado por uno menos el índice de Atkinson proporciona el bienestar equivalente de un ingreso distribuido equitativamente . Por lo tanto, el índice de Atkinson indica la proporción del ingreso actual que podría sacrificarse, sin reducir el bienestar social, si se instaurara una desigualdad perfecta.${\displaystyle \varepsilon =0}$Si no existe aversión a la desigualdad, el bienestar social marginal derivado del ingreso es invariable con respecto al ingreso; es decir, los incrementos marginales en el ingreso generan el mismo bienestar social, ya sea que beneficien a una persona pobre o rica. En este caso, el bienestar equivalente al ingreso distribuido equitativamente es igual al ingreso medio, y el índice de Atkinson es cero.

Para${\displaystyle \varepsilon =+\infty }$(aversión infinita a la desigualdad) el bienestar social marginal del ingreso del individuo más pobre es infinitamente mayor que el de cualquier individuo incluso ligeramente más rico, y la función de bienestar social de Atkinson es igual al ingreso más pequeño de la muestra. En este caso, el índice de Atkinson es igual al ingreso medio menos el ingreso más pequeño, dividido por el ingreso medio. Como en las grandes distribuciones típicas de ingresos son comunes los ingresos de cero o cercanos a cero, el índice de Atkinson tenderá a ser uno o muy cercano a uno para valores muy grandes.${\displaystyle \varepsilon }$.

El índice de Atkinson varía entonces entre 0 y 1 y es una medida de la cantidad de utilidad social que se obtendría mediante la redistribución completa de una distribución de ingresos determinada, para un determinado${\displaystyle \varepsilon }$parámetro. Bajo el estándar ético utilitarista y algunos supuestos restrictivos (una población homogénea y elasticidad constante de la utilidad de sustitución),${\displaystyle \varepsilon }$es igual a la elasticidad ingreso de la utilidad marginal del ingreso.

El índice de Atkinson con aversión a la desigualdad${\displaystyle \varepsilon }$es equivalente (bajo un reescalamiento monótono) a un índice de entropía generalizado con parámetro${\displaystyle \alpha =1-\varepsilon }$

La fórmula para derivar un índice de Atkinson con parámetro de aversión a la desigualdad${\displaystyle \epsilon }$del índice GE correspondiente bajo la restricción${\displaystyle \varepsilon =1-\alpha }$está dado por: $${\displaystyle A=1-[\varepsilon (\varepsilon -1)GE(\alpha )+1]^{(1/(1-\varepsilon ))}\qquad \varepsilon \neq 1}$$$${\displaystyle A=1-e^{-GE(\alpha )}\qquad \varepsilon =1}$$

El índice de Atkinson satisface las siguientes propiedades:

1. El índice es simétrico en sus argumentos:${\displaystyle A_{\varepsilon }(y_{1},\ldots ,y_{N})=A_{\varepsilon }(y_{\sigma (1)},\ldots ,y_{\sigma (N)})}$para cualquier permutación${\displaystyle \sigma }$.
2. El índice es no negativo y es igual a cero solo si todos los ingresos son iguales:${\displaystyle A_{\varepsilon }(y_{1},\ldots ,y_{N})=0}$si y solo si${\displaystyle y_{i}=\mu }$a pesar de${\displaystyle i}$.
3. El índice satisface el principio de transferencias : si una transferencia${\displaystyle \Delta >0}$está hecho de un individuo con ingresos${\displaystyle y_{i}}$a otro con ingresos${\displaystyle y_{j}}$de tal manera que${\displaystyle y_{i}-\Delta >y_{j}+\Delta }$, entonces el índice de desigualdad no puede aumentar.
4. El índice satisface el axioma de replicación de la población: si se forma una nueva población replicando la población existente un número arbitrario de veces, la desigualdad permanece igual:${\displaystyle A_{\varepsilon }(\{y_{1},\ldots ,y_{N}\},\ldots ,\{y_{1},\ldots ,y_{N}\})=A_{\varepsilon }(y_{1},\ldots ,y_{N})}$
5. El índice satisface el axioma de independencia de la media, o de homogeneidad de ingresos: si todos los ingresos se multiplican por una constante positiva, la desigualdad permanece igual:${\displaystyle A_{\varepsilon }(y_{1},\ldots ,y_{N})=A_{\varepsilon }(ky_{1},\ldots ,ky_{N})}$para cualquier${\displaystyle k>0}$.
6. El índice es descomponible en subgrupos (no aditivos) y el índice de entropía generalizada correspondiente es descomponible en subgrupos aditivos . ^{[ 3 ]} Esto significa que la desigualdad general en la población se puede calcular como la suma de los índices GE correspondientes dentro de cada grupo y el índice GE de los ingresos medios del grupo:

${\displaystyle GE(\alpha ;y_{gi}:g=1,\ldots ,G,i=1,\ldots ,N_{g})=\sum _{g=1}^{G}w_{g}GE(\alpha ;y_{g1},\ldots ,y_{gN_{g}})+GE(\alpha$ ;\mu _{1},\ldots ,\mu _{G})}

dónde${\displaystyle g}$grupos de índices,${\displaystyle i}$, individuos dentro de grupos,${\displaystyle \mu _{g}}$es el ingreso medio en el grupo${\displaystyle g}$y los pesos${\displaystyle w_{g}}$depender de${\displaystyle \mu _{g},\mu ,N}$y${\displaystyle N_{g}}$La clase de índices de desigualdad aditivamente descomponibles es muy restrictiva; de hecho, solo los índices de entropía generalizados son aditivamente descomponibles. Muchos índices populares, incluido el índice de Gini , no satisfacen esta propiedad.

• Indicadores de desigualdad de ingresos
• Índice de entropía generalizada
• Índice de Gini

• Atkinson, AB (1970) Sobre la medición de la desigualdad. Journal of Economic Theory , 2 (3), pp.  244–263, doi : 10.1016/0022-0531(70)90039-6 . El artículo original que propone este índice de desigualdad.
• Allison PD (1978) Medidas de desigualdad, American Sociological Review , 43, pp.  865–880. Presenta un análisis técnico de las propiedades de la medida de Atkinson. Existe un error en la fórmula del índice de Atkinson, que se corrige en Allison (1979).
• Allison, PD (1979) Respuesta a Jasso. American Sociological Review 44(5):870–72.
• Biewen M, Jenkins SP (2003). Estimación de la entropía generalizada y los índices de desigualdad de Atkinson a partir de datos de encuestas complejas. Documento de debate IZA n.º 763. Proporciona inferencia estadística para los índices de Atkinson.
• Lambert, P. (2002). Distribución y redistribución del ingreso . 3.ª edición, Manchester Univ Press, ISBN 978-0-7190-5732-8.
• Sen A, Foster JE (1997) Sobre la desigualdad económica , Oxford University Press, ISBN 978-0-19-828193-1( Script de Python para una selección de fórmulas del libro)
• Base de datos mundial sobre desigualdad de ingresos archivada el 13 de marzo de 2011 en Wayback Machine , del Instituto Mundial de Investigación en Economía del Desarrollo.
• Desigualdad de ingresos, 1947-1998 , según la Oficina del Censo de los Estados Unidos .

Software:

• La calculadora en línea gratuita calcula el coeficiente de Gini, traza la curva de Lorenz y calcula muchas otras medidas de concentración para cualquier conjunto de datos.
• Calculadora gratuita: scripts en línea y descargables ( Python y Lua ) para las desigualdades de Atkinson, Gini y Hoover.
• Los usuarios del software de análisis de datos R pueden instalar el paquete "ineq", que permite calcular diversos índices de desigualdad, como los de Gini, Atkinson y Theil.
• Paquete de desigualdades para MATLAB archivado el 4 de octubre de 2008 en Wayback Machine , que incluye código para calcular los índices de Gini, Atkinson y Theil, y para graficar la curva de Lorenz. Hay muchos ejemplos disponibles.
• Paquetes de desigualdad de Stata : ineqdeco para descomponer la desigualdad por grupos; svygei y svyatk para calcular varianzas consistentes con el diseño para los índices de entropía generalizada y Atkinson; glcurve para obtener la curva de Lorenz generalizada. Puede escribir ssc install ineqdecoetc. en la consola de Stata para instalar estos paquetes.