Masa de aire (astronomía)

Si se ignora la refracción atmosférica , se puede demostrar a partir de consideraciones geométricas simples ( Schoenberg 1929 , 173) que la trayectoria${\displaystyle s}$de un rayo de luz en el ángulo cenital ${\displaystyle z}$a través de una atmósfera radialmente simétrica de altura${\displaystyle y_{\mathrm {atm} }}$por encima de la Tierra está dado por $${\displaystyle s={\sqrt {R_{\mathrm {E} }^{2}\cos ^{2}z+2R_{\mathrm {E} }y_{\mathrm {atm} }+y_{\mathrm {atm} }^{2}}}-R_{\mathrm {E} }\cos \,z\,}$$ o alternativamente, $${\displaystyle s={\sqrt {\left(R_{\mathrm {E} }+y_{\mathrm {atm} }\right)^{2}-R_{\mathrm {E} }^{2}\sin ^{2}z}}-R_{\mathrm {E} }\cos \,z\,}$$ dónde${\displaystyle R_{\mathrm {E} }}$es el radio de la Tierra.

La masa de aire relativa es entonces: $${\displaystyle X={\frac {s}{y_{\mathrm {atm} }}}={\frac {R_{\mathrm {E} }}{y_{\mathrm {atm} }}}{\sqrt {\cos ^{2}z+2{\frac {y_{\mathrm {atm} }}{R_{\mathrm {E} }}}+\left({\frac {y_{\mathrm) {atm} }}{R_{\mathrm {E} }}}\right)^{2}}}-{\frac {R_{\mathrm {E} }}{y_{\mathrm {atm} }}}\cos \,z\,.}$$

Si la atmósfera es homogénea (es decir, la densidad es constante), la altura atmosférica${\displaystyle y_{\mathrm {atm} }}$Se deduce de consideraciones hidrostáticas lo siguiente:$${\displaystyle y_{\mathrm {atm} }={\frac {kT_{0}}{mg}}\,,}$$ dónde${\displaystyle k}$es la constante de Boltzmann ,${\displaystyle T_{0}}$es la temperatura a nivel del mar,${\displaystyle m}$es la masa molecular del aire, y${\displaystyle g}$es la aceleración debida a la gravedad. Aunque esto es lo mismo que la altura de escala de presión de una atmósfera isotérmica , la implicación es ligeramente diferente. En una atmósfera isotérmica, el 37% (1/ e ) de la atmósfera está por encima de la altura de escala de presión; en una atmósfera homogénea, no hay atmósfera por encima de la altura atmosférica.

Tomando${\displaystyle T_{0}=\mathrm {288.15~K} }$,${\displaystyle m=\mathrm {28.9644\times 1.6605\times 10^{-27}~kg} }$, y${\displaystyle g=\mathrm {9,80665~m/s^{2}} }$da${\displaystyle y_{\mathrm {atm} }\approx \mathrm {8435~m} }$Utilizando el radio medio de la Tierra de 6371  km, la masa de aire a nivel del mar en el horizonte es $${\displaystyle X_{\mathrm {horiz} }={\sqrt {1+2{\frac {R_{\mathrm {E} }}{y_{\mathrm {atm} }}}}}\aproximadamente 38,87\,.}$$

El modelo esférico homogéneo subestima ligeramente la tasa de aumento de la masa de aire cerca del horizonte; se puede obtener un ajuste general razonable a los valores determinados a partir de modelos más rigurosos ajustando la masa de aire para que coincida con un valor en un ángulo cenital menor de 90°. La ecuación de la masa de aire se puede reorganizar para dar $${\displaystyle {\frac {R_{\mathrm {E} }}{y_{\mathrm {atm} }}}={\frac {X^{2}-1}{2\left(1-X\cos z\right)}}\,;}$$ igualando el valor de Bemporad de 19.787 en${\displaystyle z}$ =  88° da${\displaystyle R_{\mathrm {E} }/y_{\mathrm {atm} }}$ ≈  631,01 y ${\displaystyle X_{\mathrm {horiz} }}$ ≈  35,54. Con el mismo valor para${\displaystyle R_{\mathrm {E} }}$como se indicó anteriormente,${\displaystyle y_{\mathrm {atm} }}$ ≈  10.096  m.

Si bien una atmósfera homogénea no es un modelo físicamente realista, la aproximación es razonable siempre que la altura de escala de la atmósfera sea pequeña en comparación con el radio del planeta. El modelo es utilizable (es decir, no diverge ni tiende a cero) en todos los ángulos cenitales, incluidos aquellos mayores de 90° (véase §  Atmósfera esférica homogénea con observador elevado ). El modelo requiere relativamente poca sobrecarga computacional y, si no se requiere alta precisión, proporciona resultados razonables. ^{[ 5 ]} Sin embargo, para ángulos cenitales menores de 90°, se puede obtener un mejor ajuste a los valores aceptados de masa de aire con varias de las fórmulas de interpolación.

En una atmósfera real, la densidad no es constante (disminuye con la elevación sobre el nivel medio del mar ). La masa de aire absoluta para la trayectoria geométrica de la luz discutida anteriormente se convierte, para un observador a nivel del mar, $${\displaystyle \sigma =\int _{0}^{y_{\mathrm {atm} }}{\frac {\rho \,\left(R_{\mathrm {E} }+y\right)\mathrm {d} y}{\sqrt {R_{\mathrm {E} }^{2}\cos ^{2}z+2R_{\mathrm {E} }y+y^{2}}}}\,.}$$

Se suelen utilizar varios modelos básicos para la variación de la densidad con la elevación. El más simple, una atmósfera isotérmica , proporciona $${\displaystyle \rho =\rho _{0}e^{-y/H}\,,}$$ dónde${\displaystyle \rho _{0}}$es la densidad a nivel del mar y${\displaystyle H}$es la altura de escala de densidad . Cuando los límites de integración son cero e infinito, el resultado se conoce como función de Chapman . Se obtiene un resultado aproximado si se omiten algunos términos de orden superior, obteniendo ( Young 1974 , p. 147) ,  $${\displaystyle X\approx {\sqrt {\frac {\pi R}{2H}}}\exp {\left({\frac {R\cos ^{2}z}{2H}}\right)}\,\mathrm {erfc} \left({\sqrt {\frac {R\cos ^{2}z}{2H}}}\right)\,.}$$

Se puede realizar una corrección aproximada de la refracción tomando ( Young 1974 , p. 147) $${\displaystyle R=7/6\,R_{\mathrm {E} }\,,}$$ dónde${\displaystyle R_{\mathrm {E} }}$es el radio físico de la Tierra. En el horizonte, la ecuación aproximada se convierte en $${\displaystyle X_{\mathrm {horiz} }\approx {\sqrt {\frac {\pi R}{2H}}}\,.}$$

Utilizando una altura de escala de 8435  m, un radio medio de la Tierra de 6371  km, e incluyendo la corrección por refracción, $${\displaystyle X_{\mathrm {horiz} }\approx 37.20\,.}$$

La suposición de temperatura constante es simplista; un modelo más realista es la atmósfera politrópica , para la cual$${\displaystyle T=T_{0}-\alpha y\,,}$$ dónde${\displaystyle T_{0}}$es la temperatura a nivel del mar y${\displaystyle \alpha }$es el gradiente térmico . La densidad en función de la elevación es $${\displaystyle \rho =\rho _{0}\left(1-{\frac {\alpha }{T}}_{0}y\right)^{1/(\kappa -1)}\,,}$$ dónde${\displaystyle \kappa }$es el exponente politrópico (o índice politrópico). La integral de masa de aire para el modelo politrópico no admite una solución analítica excepto en el cenit, por lo que la integración generalmente se realiza numéricamente.

La atmósfera terrestre consta de múltiples capas con diferentes características de temperatura y densidad; entre los modelos atmosféricos comunes se encuentran la Atmósfera Estándar Internacional y la Atmósfera Estándar de EE . UU . Una buena aproximación para muchos propósitos es una troposfera politrópica de 11  km de altura con un gradiente térmico de 6,5  K/km y una estratosfera isotérmica de altura infinita ( Garfinkel 1967 ) , que se corresponde muy estrechamente con las dos primeras capas de la Atmósfera Estándar Internacional. Se pueden utilizar más capas si se requiere mayor precisión. ^{[ 6 ]}

Cuando se considera la refracción atmosférica, el trazado de rayos se vuelve necesario ( Kivalov 2007 ) , y la integral absoluta de masa de aire se convierte en ^{[ 7 ].}$${\displaystyle \sigma =\int _{r_{\mathrm {obs} }}^{r_{\mathrm {atm} }}{\frac {\rho \,\mathrm {d} r}{\sqrt {1-\left({\frac {n_{\mathrm {obs} }}{n}}{\frac {r_{\mathrm {obs} }}{r}}\right)^{2}\sin ^{2}z}}}\,}$$ dónde${\displaystyle n_{\mathrm {obs} }}$es el índice de refracción del aire a la altura del observador${\displaystyle y_{\mathrm {obs} }}$sobre el nivel del mar,${\displaystyle n}$es el índice de refracción en elevación${\displaystyle y}$sobre el nivel del mar,${\displaystyle r_{\mathrm {obs} }=R_{\mathrm {E} }+y_{\mathrm {obs} }}$, ${\displaystyle r=R_{\mathrm {E} }+y}$es la distancia desde el centro de la Tierra hasta un punto a una elevación determinada.${\displaystyle y}$, y${\displaystyle r_{\mathrm {atm} }=R_{\mathrm {E} }+y_{\mathrm {atm} }}$es la distancia al límite superior de la atmósfera a una altitud determinada.${\displaystyle y_{\mathrm {atm} }}$El índice de refracción en términos de densidad se suele dar con suficiente precisión ( Garfinkel 1967 ) mediante la relación de Gladstone-Dale .$${\displaystyle {\frac {n-1}{n_{\mathrm {obs} }-1}}={\frac {\rho }{\rho _{\mathrm {obs} }}}\,.}$$

La reorganización y sustitución en la integral de masa de aire absoluta da como resultado: $${\displaystyle \sigma =\int _{r_{\mathrm {obs} }}^{r_{\mathrm {atm} }}{\frac {\rho \,\mathrm {d} r}{\sqrt {1-\left({\frac {n_{\mathrm {obs} }}{1+(n_{\mathrm {obs} }-1)\rho /\rho _{\mathrm {obs} }}}\right)^{2}\left({\frac {r_{\mathrm {obs} }}{r}}\right)^{2}\sin ^{2}z}}}\,.}$$

La cantidad${\displaystyle n_{\mathrm {obs} }-1}$es bastante pequeño; expandiendo el primer término entre paréntesis, reordenando varias veces e ignorando términos en${\displaystyle (n_{\mathrm {obs} }-1)^{2}}$Después de cada reordenamiento, se obtiene ( Kasten y Young 1989 )$${\displaystyle \sigma =\int _{r_{\mathrm {obs} }}^{r_{\mathrm {atm} }}{\frac {\rho \,\mathrm {d} r}{\sqrt {1-\left[1+2(n_{\mathrm {obs} }-1)(1-{\frac {\rho }{\rho _{\mathrm {obs} }}})\right]\left({\frac {r_{\mathrm {obs} }}{r}}\right)^{2}\sin ^{2}z}}}\,.}$$

En la figura de la derecha, un observador en O se encuentra a una elevación${\displaystyle y_{\text{obs}}}$por encima del nivel del mar en una atmósfera uniforme radialmente simétrica de altura${\displaystyle y_{\mathrm {atm} }}$. La longitud del recorrido de un rayo de luz en el ángulo cenital${\displaystyle z}$es${\displaystyle s}$;${\displaystyle R_{\mathrm {E} }}$es el radio de la Tierra. Aplicando la ley de los cosenos al triángulo OAC, $${\displaystyle {\begin{aligned}\left(R_{E}+y_{\text{atm}}\right)^{2}&=s^{2}+\left(R_{E}+y_{\text{obs}}\right)^{2}-2\left(R_{E}+y_{\text{obs}}\right)s\cos \left(180^{\circ }-z\right)\\&=s^{2}+\left(R_{E}+y_{\text{obs}}\right)^{2}+2\left(R_{E}+y_{\text{obs}}\right)s\cos z\end{aligned}}}$$ Al expandir los lados izquierdo y derecho, eliminando los términos comunes y reordenando se obtiene $${\displaystyle {{s}^{2}}+2\left({R_{\text{E}}}+{y_{\text{obs}}}\right)s\cos z-2{R_{\text{E}}}{y_{\text{atm}}}-y_{\text{atm}}^{2}+2{R_{\text{E}}}{y_{\text{obs}}}+y_{\text{obs}}^{2}=0\,.}$$

Resolviendo la ecuación cuadrática para la longitud del camino s , factorizando y reordenando, $${\displaystyle s=\pm {\sqrt {{{\left({R_{\text{E}}}+{y_{\text{obs}}}\right)}^{2}}{{\cos }^{2}}z+2{R_{\text{E}}}\left({y_{\text{atm }}}-{y_{\text{obs}}}\right)+y_{\text{atm}}^{2}-y_{\text{obs}}^{2}}}-({R_{\text{E}}}+{y_{\text{obs}}})\cos z\,.}$$

El signo negativo del radical da un resultado negativo, que no tiene significado físico. Usando el signo positivo, dividiendo por${\displaystyle y_{\mathrm {atm} }}$y cancelando términos comunes y reordenándolos se obtiene la masa de aire relativa: $${\displaystyle X={\sqrt {{{\left({\frac {{R_{\text{E}}}+{y_{\text{obs}}}}{y_{\text{atm}}}}\right)}^{2}}{{\cos }^{2}}z+{\frac {2{R_{\text{E}}}}{y_{\text{atm}}^{2}}}\left({y_{\text{atm}}}-{y_{\text{obs}}}\right)-{{\left({\frac {y_{\text{obs}}}{y_{\text{atm}}}}\right)}^{2}}+1}}-{\frac {{R_{\text{E}}}+{y_{\text{obs}}}}{y_{\text{atm}}}}\cos z\,.}$$

Con las sustituciones${\displaystyle {\hat {r}}=R_{\mathrm {E} }/y_{\mathrm {atm} }}$y${\displaystyle {\hat {y}}=y_{\mathrm {obs} }/y_{\mathrm {atm} }}$, esto se puede dar como $${\displaystyle X={\sqrt {{({\hat {r}}+{\hat {y}})}^{2}\cos ^{2}z+2{\hat {r}}(1-{\hat {y}})-{\hat {y}}^{2}+1}}\;-\;({\hat {r}}+{\hat {y}})\cos z\,.}$$

Cuando la elevación del observador es cero, la ecuación de la masa de aire se simplifica a $${\displaystyle X={\sqrt {{{\left({\frac {R_{\text{E}}}{y_{\text{atm}}}}\right)}^{2}}\cos ^{2}z+{\frac {2R_{\text{E}}}{y_{\text{atm}}}}+1}}-{\frac {R_{\text{E}}}{y_{\text{atm}}}}\cos z\,.}$$

En el límite de incidencia rasante, la masa de aire absoluta es igual a la distancia al horizonte . Además, si el observador se encuentra a mayor altura, el ángulo cenital del horizonte puede ser superior a 90°.