Circulación atmosférica de exoplanetas

La conservación del momento para un flujo viene dada por la siguiente ecuación: ^{[ 1 ]}

${\displaystyle {\frac {d{\boldsymbol {u}}}{dt}}=-{\frac {1}{\rho }}\nabla p-(2{\boldsymbol {\Omega }}\times {\boldsymbol {u}})-[{\boldsymbol {\Omega }}\times ({\boldsymbol {\Omega }}\times {\boldsymbol {r}})]-g{\boldsymbol {k}}+{\boldsymbol {F}}_{visc}}$

dónde

• ${\displaystyle {\frac {d}{dt}}={\frac {\partial }{\partial t}}+{\boldsymbol {u}}\cdot \nabla }$es el derivado material
• ${\displaystyle p}$es la presión
• ${\displaystyle \rho }$es la densidad
• ${\displaystyle g}$es la aceleración gravitacional
• ${\displaystyle {\boldsymbol {r}}}$es el vector desde el eje de rotación
• ${\displaystyle {\boldsymbol {F}}_{visc}}$es la fuerza de fricción

El término${\displaystyle {\boldsymbol {\Omega }}\times ({\boldsymbol {\Omega }}\times {\boldsymbol {r}})}$es la aceleración centrípeta debida a la rotación del planeta.

La ecuación anterior se puede simplificar a una forma adecuada para el movimiento atmosférico a gran escala. Primero, el vector de velocidad${\displaystyle {\boldsymbol {u}}}$se divide en los tres componentes del viento:

${\displaystyle {\boldsymbol {u}}=u{\boldsymbol {i}}+v{\boldsymbol {j}}+w{\boldsymbol {k}}}$

dónde

• ${\displaystyle u}$es el viento zonal
• ${\displaystyle v}$es el viento meridional
• ${\displaystyle w}$es el viento vertical

A continuación, ignoramos la fricción y el viento vertical. Por lo tanto, las ecuaciones para el viento zonal y meridional se simplifican a: ^{[ 1 ] [ 2 ]}

${\displaystyle {\frac {du}{dt}}-\left(f+{\frac {u\tan \phi }{a}}\right)v=-{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial p}{\partial x}}}$

${\displaystyle {\frac {dv}{dt}}+\left(f+{\frac {u\tan \phi }{a}}\right)u=-{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial p}{\partial y}}}$

y la ecuación en la dirección vertical se simplifica a la ecuación de equilibrio hidrostático : ^{[ 3 ] [ 4 ]}

${\displaystyle {\frac {\partial p}{\partial z}}=-g\rho }$

donde el parámetro${\displaystyle g}$ha absorbido la componente vertical de la fuerza centrípeta . ^{[ 3 ]} En las ecuaciones anteriores:

${\displaystyle f=2\Omega \sin \phi }$

es el parámetro de Coriolis,${\displaystyle \phi }$es la latitud y${\displaystyle a}$es el radio del planeta.

Para un planeta con rotación rápida, la fuerza de Coriolis es la fuerza dominante que equilibra el gradiente de presión. ^{[ 1 ] [ 2 ]} En este caso, las ecuaciones para el movimiento a gran escala se simplifican aún más a:

${\displaystyle u_{g}=-{\frac {1}{f\rho }}\left({\frac {\partial p}{\partial y}}\right)_{z}}$

${\displaystyle v_{g}={\frac {1}{f\rho }}\left({\frac {\partial p}{\partial x}}\right)_{z}}$

donde el${\displaystyle z}$El subíndice denota una superficie de altitud constante y la${\displaystyle g}$El subíndice indica viento geostrófico . Cabe destacar que, en este caso, el viento geostrófico es perpendicular al gradiente de presión. Esto se debe a que la fuerza de Coriolis actúa perpendicularmente a la dirección del viento. Por lo tanto, dado que el gradiente de presión induce un viento paralelo a este, la fuerza de Coriolis actuará perpendicularmente al gradiente de presión. Como la fuerza de Coriolis predomina en este régimen, los vientos resultantes son perpendiculares al gradiente de presión.

Para un planeta con una velocidad de rotación baja y una fuerza de Coriolis despreciable, el gradiente de presión puede ser compensado por la aceleración centrípeta. En este caso, las ecuaciones para el movimiento a gran escala se simplifican aún más a: ^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ]}

${\displaystyle {\frac {u^{2}\tan \phi }{a}}=-{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial p}{\partial y}}}$

para un viento predominante en dirección este-oeste.