Fórmula atómica

En lógica matemática , una fórmula atómica (también conocida como átomo o fórmula prima ) es una fórmula sin estructura proposicional más profunda; es decir, una fórmula que no contiene conectores lógicos o, equivalentemente, una fórmula que no tiene subfórmulas estrictas. Por lo tanto, los átomos son las fórmulas bien formadas más simples de la lógica. Las fórmulas compuestas se forman combinando las fórmulas atómicas mediante conectores lógicos.

La forma precisa de las fórmulas atómicas depende de la lógica que se esté considerando; en la lógica proposicional , por ejemplo, una variable proposicional se suele denominar simplemente "fórmula atómica", pero, más precisamente, una variable proposicional no es una fórmula atómica, sino una expresión formal que denota una fórmula atómica. En la lógica de predicados , los átomos son símbolos de predicados junto con sus argumentos, siendo cada argumento un término . En la teoría de modelos , las fórmulas atómicas son simplemente cadenas de símbolos con una signatura dada , que pueden o no ser satisfacibles con respecto a un modelo dado. ^{[ 1 ]}

Los términos y proposiciones bien formados de la lógica ordinaria de primer orden tienen la siguiente sintaxis :

Términos :

• ${\displaystyle t\equiv c\mid x\mid f(t_{1},\dotsc ,t_{n})}$,

Es decir, un término se define recursivamente como una constante c (un objeto con nombre del dominio del discurso ), o una variable x (que abarca los objetos del dominio del discurso), o una función n -aria f cuyos argumentos son términos t _k . Las funciones asignan tuplas de objetos a objetos.

Proposiciones:

• ${\displaystyle A,B,...\equiv P(t_{1},\dotsc ,t_{n})\mid A\wedge B\mid \top \mid A\vee B\mid \bot \mid A\supset B\mid \forall x.\ A\mid \exists x.\ A}$,

Es decir, una proposición se define recursivamente como un predicado n -ario P cuyos argumentos son términos t _k , o una expresión compuesta de conectores lógicos (y, o) y cuantificadores (para todo, existe) utilizados con otras proposiciones.

Una fórmula atómica o átomo es simplemente un predicado aplicado a una tupla de términos; es decir, una fórmula atómica es una fórmula de la forma P ( t ₁ ,…, t _n ) para P un predicado y los t _n términos.

Todas las demás fórmulas bien formadas se obtienen componiendo átomos con conectores lógicos y cuantificadores.

Por ejemplo, la fórmula ∀ x. P ( x ) ∧ ∃ y. Q ( y , f ( x )) ∨ ∃ z. R ( z ) contiene los átomos

• ${\displaystyle P(x)}$
• ${\displaystyle Q(y,f(x))}$
• ${\displaystyle R(z)}$.

Como no aparecen cuantificadores en una fórmula atómica, todas las apariciones de símbolos de variables en una fórmula atómica son libres. ^{[ 2 ]}

• En la teoría de modelos , las estructuras asignan una interpretación a las fórmulas atómicas.
• En la teoría de la demostración , la asignación de polaridad para las fórmulas atómicas es un componente esencial del enfoque .
• Oración atómica

• Hinman, P. (2005). Fundamentos de lógica matemática . AK Peters. ISBN 1-56881-262-0.