Modelo atómico (lógica matemática)

En la teoría de modelos , un subcampo de la lógica matemática , un modelo atómico es un modelo tal que el tipo completo de cada tupla está axiomatizado por una única fórmula . Dichos tipos se denominan tipos principales y las fórmulas que los axiomatizan se denominan fórmulas completas .

Sea T una teoría . Un tipo completo p ( x ₁ , ...,  x _n ) se llama principal o atómico (relativo a T ) si está axiomatizado con respecto a T por una única fórmula φ ( x ₁ , ...,  x _n ) ∈  p ( x ₁ , ...,  x _n ).

Una fórmula φ se llama completa en T si para cada fórmula ψ ( x ₁ , ...,  x _n ), la teoría T ∪ { φ } implica exactamente uno de ψ y ¬ ψ . ^[1] De ello se deduce que un tipo completo es principal si y solo si contiene una fórmula completa.

Un modelo M se llama atómico si cada n -tupla de elementos de M satisface una fórmula que es completa en Th( M ), la teoría de M .

• El campo ordenado de números algebraicos reales es el único modelo atómico de la teoría de campos reales cerrados .
• Cualquier modelo finito es atómico.
• Un ordenamiento lineal denso sin puntos finales es atómico.
• Cualquier modelo primo de una teoría contable es atómico según el teorema de omisión de tipos .
• Cualquier modelo atómico contable es primo, pero hay muchos modelos atómicos que no son primos, como un orden lineal denso incontable sin puntos finales.
• La teoría de un número contable de relaciones unarias independientes es completa, pero no tiene fórmulas completables ni modelos atómicos.

El método de ida y vuelta se puede utilizar para demostrar que dos modelos atómicos contables de una teoría que sean elementalmente equivalentes son isomorfos .

• Chang, Chen Chung ; Keisler, H. Jerome (1990), Teoría de modelos , Estudios de lógica y fundamentos de las matemáticas (3.ª ed.), Elsevier, ISBN 978-0-444-88054-3
• Hodges, Wilfrid (1997), Una teoría de modelos más breve , Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-58713-6