Espacio de adjunción

En matemáticas , un espacio de adjunción (o espacio de unión ) es una construcción común en topología donde un espacio topológico se une o se "pega" a otro. Específicamente, sean X e Y espacios topológicos, y sea A un subespacio de Y. Sea f  : A → X una función continua (llamada función de unión ). Se forma el espacio de adjunción X ∪ _f Y (a veces también escrito como X + _f Y ) tomando la unión disjunta de X e Y e identificando a con f ( a ) para todo a en A . Formalmente,

${\displaystyle X\cup _{f}Y=(X\sqcup Y)/\sim }$

donde la relación de equivalencia ~ se genera mediante a ~ f ( a ) para todo a en A , y el cociente se da mediante la topología del cociente . Como conjunto, X ∪ _f Y consiste en la unión disjunta de X y ( Y − A ). Sin embargo, la topología se especifica mediante la construcción del cociente.

Intuitivamente, uno puede pensar que Y está pegado a X a través del mapa f .

• Un ejemplo común de un espacio de adjunción se da cuando Y es una bola n cerrada ( o célula ) y A es el límite de la bola, la ( n −1) -esfera . La unión inductiva de células a lo largo de sus límites esféricos a este espacio da como resultado un ejemplo de un complejo CW .
• Los espacios de adjunción también se utilizan para definir sumas conexas de variedades . En este caso, primero se eliminan las bolas abiertas de X e Y antes de unir los límites de las bolas eliminadas a lo largo de una función de unión.
• Si A es un espacio con un punto, entonces la adjunción es la suma de cuña de X e Y.
• Si X es un espacio con un punto entonces la adjunta es el cociente Y / A .

Las aplicaciones continuas h  : X ∪ _f Y → Z están en correspondencia 1-1 con los pares de aplicaciones continuas h _X  : X → Z y h _Y  : Y → Z que satisfacen h _X ( f ( a ))= h _Y ( a ) para todo a en A .

En el caso en que A es un subespacio cerrado de Y se puede demostrar que la función X → X ∪ _f Y es una incrustación cerrada y ( Y − A ) → X ∪ _f Y es una incrustación abierta.

La construcción adjunta es un ejemplo de pushout en la categoría de espacios topológicos . Es decir, el espacio de adjunción es universal con respecto al siguiente diagrama conmutativo :

Aquí i es la función de inclusión y Φ _X , Φ _Y son las funciones obtenidas al componer la función cociente con las inyecciones canónicas en la unión disjunta de X e Y . Se puede formar una inserción más general reemplazando i con una función continua arbitraria g —la construcción es similar. Por el contrario, si f también es una inclusión, la construcción de unión es simplemente pegar X e Y a lo largo de su subespacio común.

• Espacio cociente
• Cilindro de mapeo

• Stephen Willard, Topología general , (1970), Addison-Wesley Publishing Company, Reading, Massachusetts. (Proporciona una introducción muy breve).
• "Espacio de adjunción". PlanetMath .
• Ronald Brown , "Topología y grupoides", pdf disponible, (2006) disponible en los sitios de Amazon. Analiza el tipo de homotopía de los espacios de adjunción y utiliza los espacios de adjunción como introducción a los complejos de celdas (finitas).
• JHC Whitehead "Nota sobre un teorema debido a Borsuk" Bull AMS 54 (1948), 1125-1132 es la referencia externa más antigua que conozco que utiliza el término "espacio de adjucción".