Tolerancia al ataque

Esta forma de ataque prioriza los nodos más conectados como los más importantes. Esto tiene en cuenta la red (representada por un grafo).${\displaystyle G}$) cambiando con el tiempo, analizando la red como una serie de instantáneas (indexadas por${\displaystyle j}$); denotamos la instantánea en el tiempo${\displaystyle t_{j}}$por${\displaystyle G(t_{j})}$. El promedio del grado de un nodo, etiquetado${\displaystyle i}$dentro de una instantánea determinada${\displaystyle deg_{G(t_{j})}}$, a lo largo de un intervalo de tiempo (una secuencia de${\displaystyle T}$instantáneas)${\displaystyle \{t_{1},...,t_{T}\}}$, viene dado por:

${\displaystyle deg_{G}(i;t_{1},t_{n})=\textstyle {\frac {1}{T}}\sum _{j=1}^{T}{deg_{G(t_{j})}(i)}}$

Esta forma de ataque prioriza los nodos que aparecen con mayor frecuencia durante un período de tiempo. La siguiente ecuación calcula la frecuencia con la que aparece un nodo (i) en un intervalo de tiempo.${\displaystyle \{t_{1},...,t_{T}\}}$. Cuando el nodo está presente durante la instantánea, la ecuación es igual a 1, pero si el nodo no está presente, es igual a 0.

${\displaystyle Np_{G}(i;t_{1},t_{n})=\textstyle {\frac {1}{T}}\sum _{j=1}^{T}{\delta _{t_{j}}(i)}}$

Dónde

${\displaystyle \delta _{t_{j}}(i)={\begin{cases}1,&{\text{si }}i\in V_{t_{j}}{\text{en }}t_{j}^{th}{\text{paso de tiempo.}}\\0,&{\text{en otro caso.}}\end{cases}}}$

Esta forma de ataque prioriza los nodos mediante la suma de las distancias temporales de un nodo a todos los demás nodos durante un período de tiempo. La siguiente ecuación calcula la distancia temporal de un nodo (i) promediando la suma de todas las distancias temporales para el intervalo [t ₁ ,t _n ]. ^{[ 2 ]}

${\displaystyle C_{G}(i;t_{1},t_{n})={\frac {1}{(N-1)}}\sum _{j;j\neq i}{d_{ji}(t_{1},t_{n})}}$

En el modelo ER, la red generada es homogénea, lo que significa que cada nodo tiene el mismo número de enlaces. Esto se considera una red exponencial. Al comparar la conectividad del modelo ER cuando sufre fallos aleatorios frente a ataques dirigidos, se observa que la red exponencial reacciona de la misma manera ante un fallo aleatorio que ante un ataque dirigido. Esto se debe a la homogeneidad de la red, lo que hace que no importe si se selecciona un nodo al azar o si se ataca específicamente a uno. Todos los nodos tienen, en promedio, el mismo grado, por lo que atacar a uno no debería causar más daño que atacar a otro. A medida que aumenta el número de ataques y se eliminan más nodos, observamos que S disminuye de forma no lineal y actúa como si existiera un umbral cuando se ha eliminado una fracción de los nodos (f), (f≈0,28). En este punto, S tiende a cero. El tamaño promedio de los clústeres aislados se comporta de manera opuesta, aumentando exponencialmente hasta <s> = 2, acercándose también a la línea umbral f≈.28, excepto que luego disminuye hasta 1. Este modelo se probó con un amplio rango de nodos y se comprobó que mantiene el mismo patrón. ^{[ 3 ]}

En el modelo libre de escala, la red se define por su distribución de grados siguiendo la ley de potencias ^{[ 4 ]} , lo que significa que cada nodo no tiene un número fijo de enlaces, a diferencia de la red exponencial. Esto hace que el modelo libre de escala sea más vulnerable porque hay nodos más importantes que otros, y si estos nodos fueran atacados deliberadamente, la red colapsaría. Sin embargo, esta red no homogénea tiene sus fortalezas en lo que respecta a fallas aleatorias. Debido a la ley de potencias, hay muchos más nodos en el sistema que tienen muy pocos enlaces, y las estimaciones de probabilidad indican que estos son los nodos que serán atacados (porque hay más de ellos). Cortar estos nodos más pequeños no afectará a la red en su conjunto y, por lo tanto, permite que la estructura de la red permanezca aproximadamente igual. Cuando el modelo libre de escala sufre fallas aleatorias, S disminuye lentamente sin un comportamiento de tipo umbral y <s> permanece aproximadamente 1. Esto indica que la red se está rompiendo uno por uno y no por grandes grupos. Sin embargo, cuando el modelo libre de escala sufre un ataque deliberado, el sistema se comporta de forma similar a un sistema exponencial, salvo que colapsa mucho más rápido. A medida que aumenta el número de ataques, S disminuye con un umbral cercano a f=0,05, y <s> aumenta hasta el mismo umbral y luego vuelve a disminuir hasta uno. La velocidad a la que colapsa este tipo de red evidencia la vulnerabilidad de las redes comunes que se utilizan a diario, como Internet. ^{[ 5 ]}