Filtración (teoría de la probabilidad)

En la teoría de los procesos estocásticos , una subdisciplina de la teoría de la probabilidad , las filtraciones son colecciones totalmente ordenadas de subconjuntos que se utilizan para modelar la información disponible en un punto dado y, por lo tanto, desempeñan un papel importante en la formalización de los procesos aleatorios (estocásticos).

Definición

Dejar $(\Omega,{\mathcal {A}},P)$ Sea un espacio de probabilidad y sea $I$ ser un conjunto de índices con un orden total $\leq$ (a menudo $\mathbb {N}$ , $\mathbb {R} ^{+}$ , o un subconjunto de $\mathbb {R} ^{+}$ ).

Por cada $i\in I$ dejar ${\mathcal {F}}_{i}$ ser una sub- σ -álgebra de ${\mathcal {A}}$ . Entonces

\mathbb {F

se llama filtración, si ${\mathcal {F}}_{k}\subseteq {\mathcal {F}}_{\ell }$ a pesar de $k\leq \ell$ . Por lo tanto, las filtraciones son familias de σ -álgebras ordenadas de forma no decreciente. ^{[ 1 ]} Si $\mathbb {F}$ es una filtración, entonces $(\Omega ,{\mathcal {A}},\mathbb {F} ,P)$ se denomina espacio de probabilidad filtrado .

Ejemplo

Dejar $(X_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ ser un proceso estocástico en el espacio de probabilidad $(\Omega,{\mathcal {A}},P)$ . Dejar $\sigma (X_{k}\mid k\leq n)$ denotamos el σ -álgebra generada por las variables aleatorias $X_{1},X_{2},\dots ,X_{n}$ . Entonces

{\mathcal {F}}_{n}:=\sigma (X_{k}\mid k\leq n)

es un σ -álgebra y $\mathbb {F} =({\mathcal {F}}_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ es una filtración.

$\mathbb {F}$ realmente es una filtración, ya que por definición todo ${\mathcal {F}}_{n}$ son σ -álgebras y

\sigma (X_{k}\mid k\leq n)\subseteq \sigma (X_{k}\mid k\leq n+1).

Esto se conoce como la filtración natural de ${\mathcal {A}}$ con respecto a $(X_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ .

Tipos de filtración

Filtración continua derecha

Si $\mathbb {F} =({\mathcal {F}}_{i})_{i\in I}$ es una filtración, entonces la filtración continua derecha correspondiente se define como ^{[ 2 ]}

\mathbb {F} ^{+}:=({\mathcal {F}}_{i}^{+})_{i\in I},

con

{\mathcal {F}}_{i}^{+}:=\bigcap _{z>i}{\mathcal {F}}_{z}.

La filtración $\mathbb {F}$ se denomina continuo por la derecha si $\mathbb {F} ^{+}=\mathbb {F}$ . ^{[ 3 ]}

Filtración completa

Dejar $(\Omega,{\mathcal {F}},P)$ Sea un espacio de probabilidad, y sea

{\mathcal {N}}_{P}:=\{A\subseteq \Omega \mid A\subseteq B{\text{ para algún }}B\in {\mathcal {F}}{\text{ con }}P(B)=0\}

sea el conjunto de todos los conjuntos que están contenidos dentro de un $P$ - conjunto nulo .

Una filtración $\mathbb {F} =({\mathcal {F}}_{i})_{i\in I}$ Se denomina filtración completa si cada ${\mathcal {F}}_{i}$ contiene ${\mathcal {N}}_{P}$ Esto implica $(\Omega,{\mathcal {F}}_{i},P)$ es un espacio de medición completo para cada $i\in I.$ (Lo contrario no es necesariamente cierto).

Filtración aumentada

Una filtración se denomina filtración aumentada si es completa y continua. Para cada filtración $\mathbb {F}$ Existe una filtración aumentada mínima ${\tilde {\mathbb {F} }}$ refinamiento $\mathbb {F}$ .

Si una filtración es una filtración aumentada, se dice que satisface las hipótesis usuales o las condiciones usuales . ^{[ 3 ]}

Véase también

Referencias

↑ Klenke, Achim (2008). Teoría de la probabilidad . Berlín: Springer. pág. 191. doi : 10.1007 /978-1-84800-048-3 . ISBN 978-1-84800-047-6.
↑ Kallenberg, Olav (2017). Medidas aleatorias, teoría y aplicaciones . Teoría de la probabilidad y modelado estocástico. Vol. 77. Suiza: Springer. págs. 350-351. doi : 10.1007/978-3-319-41598-7 . ISBN 978-3-319-41596-3.
1 2 Klenke, Achim (2008). Teoría de la probabilidad . Berlín: Springer. pág. 462. doi : 10.1007 /978-1-84800-048-3 . ISBN 978-1-84800-047-6.

[Klenke191-1] Klenke, Achim (2008). Teoría de la probabilidad . Berlín: Springer. pág. 191. doi : 10.1007 /978-1-84800-048-3 . ISBN 978-1-84800-047-6.

[Kallenberg350-2] Kallenberg, Olav (2017). Medidas aleatorias, teoría y aplicaciones . Teoría de la probabilidad y modelado estocástico. Vol. 77. Suiza: Springer. págs. 350-351. doi : 10.1007/978-3-319-41598-7 . ISBN 978-3-319-41596-3.

[Klenke462-3] 1 2 Klenke, Achim (2008). Teoría de la probabilidad . Berlín: Springer. pág. 462. doi : 10.1007 /978-1-84800-048-3 . ISBN 978-1-84800-047-6.

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