Teorema de concordancia de Aumann

El teorema de concordancia de Aumann establece que dos agentes bayesianos con las mismas creencias previas no pueden "estar de acuerdo en discrepar" sobre la probabilidad de un evento si sus creencias individuales son de conocimiento común . En otras palabras, si se sabe comúnmente lo que cada agente cree sobre un evento determinado , y ambos agentes son racionales y actualizan sus creencias utilizando la regla de Bayes , entonces sus creencias actualizadas (posteriores) deben ser las mismas.

En términos informales, el teorema implica que los individuos racionales que parten de las mismas premisas y comparten toda la información relevante —incluso conociendo las opiniones de los demás— deben llegar finalmente a las mismas conclusiones. Si sus diferentes creencias sobre algo son de conocimiento común, de hecho deben estar de acuerdo.

El teorema fue demostrado por Robert Aumann en su artículo de 1976 "Agreeing to Disagree" ^{[ 1 ]} que también introdujo la definición formal, basada en la teoría de conjuntos, del conocimiento común.

El modelo de Aumann ^{[ 1 ]} considera un conjunto finito de estados${\displaystyle S}$extraído de acuerdo con una distribución de probabilidad previa${\displaystyle p\in \Delta (S)}$y dos agentes que inicialmente comparten esta creencia previa. Agente${\displaystyle a}$El conocimiento de se da mediante una partición${\displaystyle \Pi _{a}}$de${\displaystyle S}$; la interpretación es que cuando el estado${\displaystyle s\in S}$se dibuja, agente${\displaystyle a}$aprende (solamente) que el estado está en${\displaystyle \pi _{a}}$, dónde${\displaystyle s\in \pi _{a}\in \Pi _{a}}$. Dejar${\displaystyle \Pi _{*}}$denota la partición de${\displaystyle S}$ese es el engrosamiento común más fino de las particiones de los agentes separados${\displaystyle {\big (}\Pi _{a}{\big )}_{a}}$Entonces, decimos que un evento${\displaystyle E\subseteq S}$es de conocimiento común en un estado${\displaystyle s\in S}$si${\displaystyle \pi _{*}\subseteq E}$, dónde${\displaystyle s\in \pi _{*}\in \Pi _{*}}$Intuitivamente, esto significa no solo que cada agente${\displaystyle a}$es seguro que${\displaystyle E}$ocurrió según su observación${\displaystyle \pi _{a}}$, pero que ella sabe que otros agentes están seguros basándose en sus propias observaciones, y que otros agentes están seguros de que ella está segura, y así sucesivamente;${\displaystyle \pi _{*}}$Captura las observaciones que los agentes deben contemplar para considerar todos los niveles de esta jerarquía.

Aumann está interesado en la situación en la que los agentes tienen conocimiento común de las creencias posteriores de los demás. Para ello, consideremos un evento${\displaystyle E\subseteq S}$. Para cada agente${\displaystyle a}$y observación${\displaystyle \pi _{a}\in \Pi _{a}}$, dejar${\displaystyle p_{a}(E|\pi _{a})}$denotar${\displaystyle a}$La creencia posterior de que el evento${\displaystyle E}$ocurrió, es decir,${\textstyle \sum _{s\in E\cap \pi _{a}}p(s)/\sum _{s\in \pi _{a}}p(s)}$. Dejar${\displaystyle X}$sea ​​el evento que para cada agente${\displaystyle a}$, tenemos${\displaystyle p_{a}(E|\pi _{a})=x_{a}}$para algún número fijo${\displaystyle x_{a}}$.

En este modelo, el teorema de concordancia de Aumann afirma que si${\displaystyle X}$es de conocimiento común en algún conjunto no vacío de estados, entonces todos los números${\displaystyle x_{a}}$son lo mismo. La demostración es la siguiente. Sea${\displaystyle s}$ser un estado donde${\displaystyle X}$es de conocimiento común, y deje que${\displaystyle s\in \pi _{*}\in \Pi _{*}}$. Arreglar un agente${\displaystyle a}$y considerar todo${\displaystyle \pi _{a}\in \Pi _{a}}$con${\displaystyle \pi _{a}\subseteq \pi _{*}}$; porque tales tenemos${\displaystyle p_{a}(E|\pi _{a})=x_{a}}$. Pero${\displaystyle \pi _{*}}$es una unión de tales${\displaystyle \pi _{a}}$s porque para cada${\displaystyle s'\in \pi _{*}}$hay${\displaystyle \pi _{a}}$de modo que${\displaystyle s'\in \pi _{a}\in \Pi _{a}}$y satisface${\displaystyle \pi _{a}\subset \pi _{*}}$por definición de un engrosamiento. Dado que el agente es fijo, sumando${\displaystyle p_{a}(E|\pi _{a})=x_{a}}$sobre todos esos${\displaystyle \pi _{a}}$, tenemos eso${\displaystyle p_{a}(E|\pi _{*})=x_{a}}$Ahora, desde${\displaystyle p_{a}(E|\pi _{*})}$es independiente de la identidad del agente, por lo tanto, todos los números${\displaystyle x_{a}}$deben ser iguales.

El teorema no es cierto cuando los agentes conocen las distribuciones posteriores de los demás, pero estas distribuciones posteriores no son de conocimiento común. Por ejemplo, ^{[ 1 ]} supongamos que el estado se extrae uniformemente de${\displaystyle S=\{1,2,3,4\}}$y dejar que los dos agentes${\displaystyle a,b}$tener${\displaystyle \Pi _{a}=\{\{1,2\},\{3,4\}\}}$y${\displaystyle \Pi _{b}=\{\{1,2,3\},\{4\}\}}$. Considere el evento${\displaystyle A=\{1,4\}}$y estado${\displaystyle s=1}$Entonces, el agente${\displaystyle a}$observa (solamente) que el estado está en${\displaystyle \{1,2\}}$tiene una creencia posterior${\displaystyle 1/2}$eso${\displaystyle A}$ocurrió y sabe que el agente${\displaystyle b}$su creencia posterior de que${\displaystyle A}$ocurrió es${\displaystyle 1/3\neq 1/2}$. Por otro lado,${\displaystyle b}$observa${\displaystyle \{1,2,3\}}$, tiene una posterior de${\displaystyle 1/3}$y sabe que${\displaystyle a}$su parte posterior es${\displaystyle 1/2}$Sin embargo, según${\displaystyle b}$conocimiento de, puede ser que${\displaystyle a}$piensa${\displaystyle b}$su parte posterior podría ser${\displaystyle 1/3}$o${\displaystyle 1}$(es decir, si${\displaystyle a}$había observado${\displaystyle \{3,4\}}$Por lo tanto, de acuerdo con el teorema de concordancia, estas probabilidades posteriores no son de conocimiento común.

Monderer y Samet relajaron la suposición de conocimiento común y asumieron en cambio conocimiento común${\displaystyle p}$-creencia de las posteriores de los agentes. ^{[ 2 ]} Dieron un límite superior de la distancia entre las posteriores${\displaystyle x_{a}}$Este límite se aproxima a 0 cuando${\displaystyle p}$se aproxima 1.

Ziv Hellman relajó el supuesto de una distribución a priori común y asumió en cambio que los agentes tienen distribuciones a priori que son${\displaystyle \varepsilon }$-cerca en una métrica bien definida. ^{[ 3 ]} Demostró que el conocimiento común de las posteriores en este caso implica que son${\displaystyle \varepsilon }$-cerrar. Cuando${\displaystyle \varepsilon }$Cuando tiende a cero, se recapitula el teorema original de Aumann.

Nielsen extendió el teorema a modelos no discretos en los que el conocimiento se describe mediante${\displaystyle \sigma }$-álgebras en lugar de particiones. ^{[ 4 ]}

El conocimiento definido en términos de particiones posee la propiedad de introspección negativa . Es decir, los agentes saben que no saben lo que no saben. Sin embargo, es posible demostrar que es imposible estar de acuerdo en discrepar incluso cuando el conocimiento no posee esta propiedad. ^{[ 5 ]}

Halpern y Kets argumentaron que los jugadores pueden estar de acuerdo en discrepar en presencia de ambigüedad, incluso si existe una información previa común. Sin embargo, permitir la ambigüedad es más restrictivo que asumir información previa heterogénea. ^{[ 6 ]}

La imposibilidad de estar de acuerdo en discrepar, en el teorema de Aumann, es una condición necesaria para la existencia de una distribución a priori común. Una condición más fuerte puede formularse en términos de apuestas. Una apuesta es un conjunto de variables aleatorias.${\displaystyle f_{a}}$uno para cada agente${\displaystyle a}$, de tal manera que${\displaystyle \sum _{a}f_{a}=0}$(la idea es que en estas apuestas no se crea ni se destruye dinero, solo se transfiere). La apuesta es favorable al agente. ${\displaystyle a}$agitado${\displaystyle s}$si el valor esperado de${\displaystyle f_{a}}$en${\displaystyle s}$es positivo. La imposibilidad de ponerse de acuerdo sobre la rentabilidad de una apuesta es una condición más fuerte que la imposibilidad de ponerse de acuerdo en discrepar y, además, es una condición necesaria y suficiente para la existencia de una probabilidad previa común. ^{[ 7 ] [ 8 ]}

Un diálogo entre dos agentes es un proceso dinámico en el que, en cada etapa, los agentes se comunican mutuamente sus versiones posteriores de un evento dado.${\displaystyle E}$Al obtener esta nueva información, cada uno está actualizando su posterior de${\displaystyle E}$. Aumann sugirió que tal proceso lleva a los agentes a conocer comúnmente sus posteriores y, por lo tanto, por el teorema de acuerdo, los posteriores al final del proceso coinciden. ^{[ 1 ]} Geanakoplos y Polemarchakis lo demostraron para diálogos en espacios de estados finitos. ^{[ 9 ]} Polemarchakis mostró que cualquier par de secuencias finitas de la misma longitud que terminan con el mismo número se puede obtener como un diálogo. ^{[ 10 ]} En contraste, Di Tillio y coautores mostraron que los diálogos infinitos deben satisfacer ciertas restricciones en su variación. ^{[ 11 ]} Scott Aaronson ^{[ 12 ] [ 13 ]} estudió la complejidad y la tasa de convergencia de varios tipos de diálogos con más de dos agentes. ^{[ 14 ]}

• Kadane, Joseph B.; Schervish, Mark J.; Seidenfeld, Teddy (1999). «Toma de decisiones no cooperativa, inferencia y aprendizaje con evidencia compartida». Repensando los fundamentos de la estadística . Cambridge University Press. ISBN 0-521-64011-3.