Autocorrelación

La autocorrelación , también conocida como correlación serial en el caso de tiempo discreto , mide la correlación de una señal con una copia retardada de sí misma. En esencia, cuantifica la similitud entre observaciones de una variable aleatoria en diferentes puntos de su dominio (generalmente, el tiempo ). El análisis de autocorrelación es una herramienta matemática para identificar patrones repetitivos o periodicidades ocultas dentro de una señal enmascarada por ruido . La autocorrelación se utiliza ampliamente en el procesamiento de señales , el dominio del tiempo y el análisis de series temporales para comprender el comportamiento de los datos a lo largo del tiempo.

En distintos campos de estudio, la autocorrelación se define de manera diferente, y no todas estas definiciones son equivalentes. En algunos campos, el término se utiliza indistintamente con autocovarianza .

Diversos modelos de series temporales incorporan autocorrelación, como los procesos de raíz unitaria , los procesos estacionarios con tendencia , los procesos autorregresivos y los procesos de media móvil .

En estadística , la autocorrelación de un proceso aleatorio real o complejo es la correlación de Pearson entre los valores del proceso en diferentes momentos, en función de los dos momentos o del desfase temporal.${\displaystyle \left\{X_{t}\right\}}$ser un proceso aleatorio en el tiempo y${\displaystyle X_{t}}$sea ​​la variable aleatoria en el tiempo${\displaystyle t}$. (${\displaystyle t}$puede ser un número entero para un proceso de tiempo discreto o un número real para un proceso de tiempo continuo .) Entonces, la definición de la función de autocorrelación entre tiempos${\displaystyle t_{1}}$y${\displaystyle t_{2}}$es ^{[ 1 ] : 388 [ 2 ] : 165}

dónde${\displaystyle \operatorname {E} }$es el operador de valor esperado y la barra representa la conjugación compleja . Tenga en cuenta que la esperanza puede no estar bien definida .

Supongamos que el proceso tiene media${\displaystyle \mu _{t}}$y varianza${\displaystyle \sigma _{t}^{2}}$en ese momento${\displaystyle t}$, para cada${\displaystyle t}$. Restando la media antes de la multiplicación se obtiene la función de autocovarianza entre tiempos${\displaystyle t_{1}}$y${\displaystyle t_{2}}$: ^{[ 1 ] : 392 [ 2 ] : 168}

Tenga en cuenta que esta expresión no está bien definida para todas las series temporales o procesos, porque la media puede no existir, o la varianza puede ser cero (para un proceso constante) o infinita (para procesos con distribuciones que carecen de momentos bien comportados, como ciertos tipos de leyes de potencia ).

La matriz de autocorrelación (potencialmente dependiente del tiempo) (también llamada segundo momento) de un vector aleatorio (potencialmente dependiente del tiempo)${\displaystyle \mathbf {X} =(X_{1},\ldots ,X_{n})^{\rm {T}}}$es un${\displaystyle n\times n}$matriz que contiene como elementos las autocorrelaciones de todos los pares de elementos del vector aleatorio${\displaystyle \mathbf {X} }$La matriz de autocorrelación se utiliza en diversos algoritmos de procesamiento de señales digitales .

Para un vector aleatorio${\displaystyle \mathbf {X} =(X_{1},\ldots ,X_{n})^{\rm {T}}}$La matriz de autocorrelación, que contiene elementos aleatorios cuyo valor esperado y varianza existen, se define mediante ^{[ 3 ] : 190 [ 1 ] : 334}

dónde${\displaystyle {}^{\rm {T}}}$denota la transposición del vector.

${\displaystyle \operatorname {R} _{\mathbf {X} \mathbf {X} }}$es una matriz de dimensiones${\displaystyle n\times n}$:

$${\displaystyle \operatorname {R} _{\mathbf {X} \mathbf {X} }={\begin{bmatrix}\operatorname {E} [X_{1}X_{1}]&\operatorname {E} [X_{1}X_{2}]&\cdots &\operatorname {E} [X_{1}X_{n}]\\\\\operatorname {E} [X_{2}X_{1}]&\operatorname {E} [X_{2}X_{2}]&\cdots &\operatorname {E} [X_{2}X_{n}]\\\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\\\operatorname {E} [X_{n}X_{1}]&\operatorname {E} [X_{n}X_{2}]&\cdots &\operatorname {E} [X_{n}X_{n}]\end{bmatrix}}}$$

Por ejemplo, si${\displaystyle \mathbf {X} =\left(X_{1},X_{2},X_{3}\right)^{\rm {T}}}$es un vector aleatorio, entonces${\displaystyle \operatorname {R} _{\mathbf {X} \mathbf {X} }}$es un${\displaystyle 3\times 3}$matriz cuyo${\displaystyle (i,j)}$-la entrada es${\displaystyle \operatorname {E} [X_{i}X_{j}]}$.

Si${\displaystyle \mathbf {Z} }$es un vector aleatorio complejo , la matriz de autocorrelación se define en cambio por

$${\displaystyle \operatorname {R} _{\mathbf {Z} \mathbf {Z} }\triangleq \ \operatorname {E} [\mathbf {Z} \mathbf {Z} ^{\rm {H}}].}$$

Aquí${\displaystyle {}^{\rm {H}}}$denota transpuesta hermitiana .

En el procesamiento de señales , la definición anterior se usa a menudo sin la normalización, es decir, sin restar la media ni dividir por la varianza. Cuando la función de autocorrelación se normaliza por la media y la varianza, a veces se la denomina coeficiente de autocorrelación ^{[ 4 ]} o función de autocovarianza.

La autocorrelación multidimensional se define de manera similar. Por ejemplo, en tres dimensiones la autocorrelación de una señal discreta sumable al cuadrado sería:

$${\displaystyle R(j,k,\ell )=\sum _{n,q,r}x_{n,q,r}\,{\overline {x}}_{n-j,q-k,r-\ell }.}$$

Cuando se restan los valores medios de las señales antes de calcular una función de autocorrelación, la función resultante se suele denominar función de autocovarianza.

Para datos expresados ​​como una secuencia discreta , frecuentemente es necesario calcular la autocorrelación con alta eficiencia computacional . Un método de fuerza bruta basado en la definición de procesamiento de señales${\textstyle R_{xx}(j)=\sum _{n}x_{n}\,{\overline {x}}_{n-j}}$Se puede utilizar cuando el tamaño de la señal es pequeño. Por ejemplo, para calcular la autocorrelación de la secuencia de señal real.${\displaystyle x=(2,3,-1)}$(es decir${\displaystyle x_{0}=2,x_{1}=3,x_{2}=-1}$, y${\displaystyle x_{i}=0}$Para todos los demás valores de i ) manualmente, primero reconocemos que la definición que acabamos de dar es la misma que la multiplicación "usual", pero con desplazamientos a la derecha, donde cada suma vertical da la autocorrelación para valores de retardo particulares: $${\displaystyle {\begin{array}{rrrrrr}&2&3&-1\\\times &2&3&-1\\\hline &-2&-3&1\\&&6&9&-3\\+&&&4&6&-2\\\hline &-2&3&14&3&-2\end{array}}}$$

Por lo tanto, la secuencia de autocorrelación requerida es${\displaystyle R_{xx}=(-2,3,14,3,-2)}$, dónde${\displaystyle R_{xx}(0)=14,}$${\displaystyle R_{xx}(-1)=R_{xx}(1)=3,}$y${\displaystyle R_{xx}(-2)=R_{xx}(2)=-2,}$la autocorrelación para otros valores de retardo es cero. En este cálculo no realizamos la operación de acarreo durante la suma como es habitual en la multiplicación normal. Nótese que podemos reducir a la mitad el número de operaciones necesarias explotando la simetría inherente de la autocorrelación. Si la señal resulta ser periódica, es decir${\displaystyle x=(\ldots ,2,3,-1,2,3,-1,\ldots ),}$Entonces obtenemos una autocorrelación circular (similar a la convolución circular ) donde las colas izquierda y derecha de la secuencia de autocorrelación anterior se superpondrán y darán${\displaystyle R_{xx}=(\ldots ,14,1,1,14,1,1,\ldots )}$que tiene el mismo período que la secuencia de señales${\displaystyle x.}$El procedimiento puede considerarse una aplicación de la propiedad de convolución de la transformada Z de una señal discreta.

Si bien el algoritmo de fuerza bruta es de orden n ² , existen varios algoritmos eficientes que pueden calcular la autocorrelación en orden n log( n ) . Por ejemplo, el teorema de Wiener-Khinchin permite calcular la autocorrelación a partir de los datos brutos X ( t ) con dos transformadas rápidas de Fourier (FFT): ^{[ 6 ]}

$${\displaystyle {\begin{aligned}F_{R}(f)&=\operatorname {FFT} [X(t)]\\S(f)&=F_{R}(f)F_{R}^{*}(f)\\R(\tau )&=\operatorname {IFFT} [S(f)]\end{aligned}}}$$

donde IFFT denota la transformada rápida de Fourier inversa . El asterisco denota el conjugado complejo .

Alternativamente, se puede realizar una correlación múltiple de τ utilizando un cálculo de fuerza bruta para valores bajos de τ , y luego agrupando progresivamente los datos X ( t ) con una densidad logarítmica para calcular valores más altos, lo que resulta en la misma eficiencia de n log( n ) , pero con menores requisitos de memoria. ^{[ 7 ] [ 8 ]}

Para un proceso discreto con media y varianza conocidas para el cual observamos${\displaystyle n}$observaciones${\displaystyle \{X_{1},\,X_{2},\,\ldots ,\,X_{n}\}}$, se puede obtener una estimación del coeficiente de autocorrelación como

$${\displaystyle {\hat {R}}(k)={\frac {1}{(n-k)\sigma ^{2}}}\sum _{t=1}^{n-k}(X_{t}-\mu )(X_{t+k}-\mu )}$$

para cualquier entero positivo${\displaystyle k<n}$. Cuando el verdadero significado${\displaystyle \mu }$y varianza${\displaystyle \sigma ^{2}}$Si se conocen, esta estimación es insesgada . Si no se conocen la media y la varianza verdaderas del proceso, existen varias posibilidades:

• Si${\displaystyle \mu }$y${\displaystyle \sigma ^{2}}$Si se reemplazan por las fórmulas estándar para la media muestral y la varianza muestral, entonces se trata de una estimación sesgada .
• Una estimación basada en periodograma reemplaza${\displaystyle n-k}$en la fórmula anterior con${\displaystyle n}$Esta estimación siempre está sesgada; sin embargo, suele tener un error cuadrático medio menor . ^{[ 9 ] [ 10 ]}
• Otras posibilidades se derivan del tratamiento de las dos porciones de datos.${\displaystyle \{X_{1},\,X_{2},\,\ldots ,\,X_{n-k}\}}$y${\displaystyle \{X_{k+1},\,X_{k+2},\,\ldots ,\,X_{n}\}}$por separado y calculando medias muestrales y/o varianzas muestrales separadas para su uso en la definición de la estimación.

La ventaja de las estimaciones del último tipo es que el conjunto de autocorrelaciones estimadas, en función de${\displaystyle k}$, entonces forman una función que es una autocorrelación válida en el sentido de que es posible definir un proceso teórico que tenga exactamente esa autocorrelación. Otras estimaciones pueden sufrir el problema de que, si se utilizan para calcular la varianza de una combinación lineal de la${\displaystyle X}$En ese caso, la varianza calculada puede resultar negativa. ^{[ 11 ]}

En el análisis de series temporales, el teorema de Hassani −1/2 es una identidad de muestra finita relativa al estimador convencional de la función de autocorrelación (FAC) de la muestra. Para una serie temporal de longitud${\displaystyle T\geq 2}$, utilizando el estimador habitual corregido por la media de la muestra${\displaystyle {\hat {\rho }}(h)}$, Hassani demostró que la suma de las autocorrelaciones de la muestra sobre todos los retardos positivos es constante: ^{[ 12 ]}

$${\displaystyle \sum _{h=1}^{T-1}{\hat {\rho }}(h)=-{\tfrac {1}{2}}.}$$

La identidad se deduce del hecho de que las autocovarianzas muestrales se calculan tras restar la media muestral. En consecuencia, la suma de las observaciones centradas es cero, lo que impone una restricción algebraica al conjunto completo de autocorrelaciones muestrales. Por lo tanto, el teorema es una propiedad del estimador y de la muestra finita, y no del proceso estocástico subyacente.

El resultado implica que las autocorrelaciones de la muestra a través de los retardos no son independientes. También muestra que la ACF de la muestra no puede ser positiva en general cuando se suma a través de todos los retardos positivos. Esto ha llevado a tener cuidado al interpretar la suma de las autocorrelaciones estimadas como una medida directa de la dependencia total, la persistencia o el comportamiento de memoria larga, ya que la suma de retardo completo está fija en${\displaystyle -1/2}$independientemente de la serie temporal estacionaria subyacente. ^{[ 12 ] [ 13 ]}

El teorema se ha analizado en relación con la verificación diagnóstica y la selección de modelos en el análisis de series temporales. En particular, trabajos posteriores han examinado sus implicaciones para pruebas basadas en autocorrelaciones de muestra, incluyendo el estadístico de Ljung-Box, y para la interpretación de patrones de ACF empíricos en procesos de memoria corta y larga. ^{[ 14 ] [ 15 ]} La identidad también se ha utilizado para enfatizar la distinción entre las autocorrelaciones teóricas de un proceso y las autocorrelaciones empíricas estimadas a partir de una muestra finita. ^{[ 16 ]}

El teorema se aplica al estimador ACF estándar corregido por la media muestral. No debe confundirse con afirmaciones sobre la suma de la función de autocorrelación teórica del proceso subyacente, que puede variar según el modelo y sus parámetros. ^{[ 13 ]}

En el análisis de regresión con datos de series temporales , la autocorrelación de una variable de interés se suele modelar con un modelo autorregresivo (AR), un modelo de media móvil (MA), su combinación en un modelo autorregresivo-media móvil (ARMA) o una extensión de este último denominada modelo autorregresivo integrado de media móvil (ARIMA). Con múltiples series de datos interrelacionadas, se utiliza la autorregresión vectorial (VAR) o sus extensiones.

En el método de mínimos cuadrados ordinarios (MCO), la adecuación de la especificación de un modelo se puede verificar, en parte, determinando si existe autocorrelación de los residuos de la regresión . La autocorrelación problemática de los errores, que en sí mismos no son observables, generalmente se puede detectar porque produce autocorrelación en los residuos observables. (Los errores también se conocen como "términos de error" en econometría ). La autocorrelación de los errores viola el supuesto de mínimos cuadrados ordinarios de que los términos de error no están correlacionados, lo que significa que el teorema de Gauss-Markov no se aplica y que los estimadores MCO ya no son los Mejores Estimadores Lineales Insesgados ( BLUE ). Si bien no sesga las estimaciones de los coeficientes MCO, los errores estándar tienden a subestimarse (y las puntuaciones t sobreestimarse) cuando las autocorrelaciones de los errores en retardos bajos son positivas.

La prueba tradicional para la presencia de autocorrelación de primer orden es el estadístico de Durbin-Watson o, si las variables explicativas incluyen una variable dependiente rezagada, el estadístico h de Durbin . Sin embargo, el Durbin-Watson se puede mapear linealmente a la correlación de Pearson entre valores y sus rezagos. ^{[ 17 ]} Una prueba más flexible, que cubre la autocorrelación de órdenes superiores y es aplicable independientemente de si los regresores incluyen rezagos de la variable dependiente, es la prueba de Breusch-Godfrey . Esta implica una regresión auxiliar, en la que los residuos obtenidos al estimar el modelo de interés se regresan sobre (a) los regresores originales y (b) k rezagos de los residuos, donde 'k' es el orden de la prueba. La versión más simple del estadístico de prueba de esta regresión auxiliar es TR ² , donde T es el tamaño de la muestra y R ² es el coeficiente de determinación . Bajo la hipótesis nula de ausencia de autocorrelación, este estadístico se distribuye asintóticamente como${\displaystyle \chi ^{2}}$con k grados de libertad.

Las respuestas a la autocorrelación no nula incluyen mínimos cuadrados generalizados y el estimador HAC de Newey-West (consistente con heterocedasticidad y autocorrelación). ^{[ 18 ]}

En la estimación de un modelo de media móvil (MA), la función de autocorrelación se utiliza para determinar el número apropiado de términos de error rezagados que se deben incluir. Esto se basa en el hecho de que para un proceso MA de orden q , tenemos${\displaystyle R(\tau )\neq 0}$, para${\displaystyle \tau =0,1,\ldots ,q}$, y${\displaystyle R(\tau )=0}$, para${\displaystyle \tau >q}$.

La capacidad de la autocorrelación para encontrar patrones repetitivos en los datos da lugar a numerosas aplicaciones, entre las que se incluyen:

• El análisis de autocorrelación se utiliza ampliamente en la espectroscopia de correlación de fluorescencia ^{[ 19 ]} para proporcionar información cuantitativa sobre la difusión a nivel molecular y las reacciones químicas. ^{[ 20 ]}
• Otra aplicación de la autocorrelación es la medición de espectros ópticos y la medición de pulsos de luz de muy corta duración producidos por láseres , ambas utilizando autocorreladores ópticos .
• La autocorrelación se utiliza para analizar datos de dispersión dinámica de luz , lo que permite determinar la distribución del tamaño de partículas de tamaño nanométrico o micelas suspendidas en un fluido. Un láser que incide sobre la mezcla produce un patrón de moteado resultante del movimiento de las partículas. La autocorrelación de la señal se puede analizar en función de la difusión de las partículas. A partir de esto, conociendo la viscosidad del fluido, se pueden calcular los tamaños de las partículas.
• Se utiliza en el sistema GPS para corregir el retardo de propagación , o desfase temporal, entre el momento de la transmisión de la señal portadora en los satélites y el momento en el receptor en tierra. Esto se logra mediante la generación por parte del receptor de una señal réplica del código C/A (Coarse/Acquisition) de 1023 bits, y la generación de líneas de chips de código [-1,1] en paquetes de diez a la vez, o 10 230 chips (1023 × 10), con un ligero desplazamiento a medida que avanza para compensar el efecto Doppler en la señal del satélite entrante, hasta que la señal réplica del receptor y los códigos de la señal del satélite coinciden. ^{[ 21 ]}
• La intensidad de dispersión de rayos X de ángulo pequeño de un sistema nanoestructurado es la transformada de Fourier de la función de autocorrelación espacial de la densidad electrónica .
• En la ciencia de superficies y la microscopía de sonda de barrido , la autocorrelación se utiliza para establecer un vínculo entre la morfología de la superficie y las características funcionales. ^{[ 22 ]}
• En óptica, las autocorrelaciones y correlaciones cruzadas normalizadas proporcionan el grado de coherencia de un campo electromagnético.
• En astronomía , la autocorrelación puede determinar la frecuencia de los púlsares .
• En música , la autocorrelación (cuando se aplica en escalas de tiempo menores a un segundo) se utiliza como algoritmo de detección de tono tanto para afinadores de instrumentos como para "Auto Tune" (utilizado como efecto de distorsión o para corregir la entonación). ^{[ 23 ]} Cuando se aplica en escalas de tiempo mayores a un segundo, la autocorrelación puede identificar el pulso musical , por ejemplo, para determinar el tempo .
• Los difractólogos de rayos X utilizan la autocorrelación espacial, en lugar de la temporal, mediante la función de Patterson , para ayudar a recuperar la "información de fase de Fourier" sobre las posiciones de los átomos que no está disponible solo mediante la difracción.
• En estadística, la autocorrelación espacial entre las ubicaciones de las muestras también ayuda a estimar las incertidumbres del valor medio al muestrear una población heterogénea.
• El algoritmo SEQUEST para el análisis de espectros de masas utiliza la autocorrelación junto con la correlación cruzada para evaluar la similitud de un espectro observado con un espectro idealizado que representa un péptido .
• En astrofísica , la autocorrelación se utiliza para estudiar y caracterizar la distribución espacial de las galaxias en el universo y en observaciones multiespectrales de sistemas binarios de rayos X de baja masa .
• En los datos de panel , la autocorrelación espacial se refiere a la correlación de una variable consigo misma a través del espacio.
• En el análisis de datos de cadenas de Markov Monte Carlo , se debe tener en cuenta la autocorrelación para una correcta determinación del error.
• En geociencias (específicamente en geofísica ) se puede utilizar para calcular un atributo sísmico de autocorrelación a partir de un estudio sísmico 3D del subsuelo.
• En las imágenes de ultrasonido médico , la autocorrelación se utiliza para visualizar el flujo sanguíneo.
• En la elección de cartera intertemporal , la presencia o ausencia de autocorrelación en la tasa de rendimiento de un activo puede afectar la proporción óptima de la cartera que se debe mantener en ese activo.
• En los relés numéricos , la autocorrelación se ha utilizado para medir con precisión la frecuencia del sistema eléctrico. ^{[ 24 ]}

La dependencia serial está estrechamente ligada a la noción de autocorrelación, pero representa un concepto distinto (véase Correlación y dependencia ). En particular, es posible tener dependencia serial pero no correlación (lineal). Sin embargo, en algunos campos, ambos términos se utilizan como sinónimos.

Una serie temporal de una variable aleatoria tiene dependencia serial si el valor en algún momento${\displaystyle t}$en la serie es estadísticamente dependiente del valor en otro momento${\displaystyle s}$Una serie es serialmente independiente si no existe dependencia entre ningún par de elementos.

Si una serie temporal${\displaystyle \left\{X_{t}\right\}}$es estacionario , entonces dependencia estadística entre el par${\displaystyle (X_{t},X_{s})}$Esto implicaría que existe una dependencia estadística entre todos los pares de valores con el mismo desfase.${\displaystyle \tau =s-t}$.

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