Función automorfa

En matemáticas, una función automorfa es una función en un espacio que es invariante bajo la acción de algún grupo , es decir, una función en el espacio cociente . A menudo, el espacio es una variedad compleja y el grupo es un grupo discreto .

En matemáticas , la noción de factor de automorfía surge para un grupo que actúa sobre una variedad analítica compleja . Supóngase que un grupo actúa sobre una variedad analítica compleja . Entonces, también actúa sobre el espacio de funciones holomorfas desde hasta los números complejos. Una función se denomina forma automorfa si se cumple lo siguiente: ${\estilo de visualización G}$${\estilo de visualización X}$${\estilo de visualización G}$${\estilo de visualización X}$${\estilo de visualización f}$

${\displaystyle f(gx)=j_{g}(x)f(x)}$

donde es una función holomorfa en todas partes distinta de cero. De manera equivalente, una forma automorfa es una función cuyo divisor es invariante bajo la acción de . $estilo de visualización j_{g}(x)}$${\estilo de visualización G}$

El factor de automorfía para la forma automórfica es la función . Una función automórfica es una forma automórfica para la cual es la identidad. ${\estilo de visualización f}$${\estilo de visualización j}$${\estilo de visualización j}$

Algunos datos sobre los factores de automorfia:

• Cada factor de automorfía es un cociclo para la acción de sobre el grupo multiplicativo de funciones holomorfas en todas partes distintas de cero.${\estilo de visualización G}$
• El factor de automorfía es un colímite si y sólo si surge de una forma automórfica en todas partes distinta de cero.
• Para un factor dado de automorfía, el espacio de formas automórficas es un espacio vectorial.
• El producto puntual de dos formas automórficas es una forma automórfica correspondiente al producto de los factores de automorfía correspondientes.

Relación entre factores de automorfia y otras nociones:

• Sea un retículo en un grupo de Lie . Entonces, un factor de automorfía para corresponde a un fibrado lineal en el grupo cociente . Además, las formas automorfas para un factor de automorfía dado corresponden a secciones del fibrado lineal correspondiente.${\estilo de visualización \Gamma}$${\estilo de visualización G}$${\estilo de visualización \Gamma}$${\displaystyle G/\Gamma}$

El caso específico de un subgrupo de SL (2,  R ), que actúa sobre el semiplano superior , se trata en el artículo sobre factores automórficos . ${\estilo de visualización \Gamma}$

• Grupo kleiniano
• Función modular elíptica
• Función modular
• Toro complejo

• AN Parshin (2001) [1994], "Forma automórfica", Enciclopedia de matemáticas , EMS Press
• Andrianov, AN; Parshin, AN (2001) [1994], "Función automórfica", Enciclopedia de matemáticas , EMS Press
• Ford, Lester R. (1929), Funciones automórficas, Nueva York, McGraw-Hill, ISBN 978-0-8218-3741-2, JFM55.0810.04 ​
• Fricke, Robert ; Klein, Felix (1897), Vorlesungen über die Theorie der automorphen Functionen. Banda Erster; Die gruppentheoretischen Grundlagen. (en alemán), Leipzig: BG Teubner, ISBN 978-1-4297-0551-6, JFM28.0334.01 ​
• Fricke, Robert; Klein, Felix (1912), Vorlesungen über die Theorie der automorphen Functionen. Zweiter Band: Die funktionentheoretischen Ausführungen und die Anwendungen. 1. Lieferung: Engere Theorie der automorphen Funktionen. (en alemán), Leipzig: BG Teubner., ISBN 978-1-4297-0552-3, JFM32.0430.01 ​