Teorema de convergencia autónoma

En matemáticas , un teorema de convergencia autónoma es uno de una familia de teoremas relacionados que especifican condiciones que garantizan la estabilidad asintótica global de un sistema dinámico autónomo continuo .

La conjetura de Markus-Yamabe se formuló como un intento de establecer condiciones para la estabilidad global de sistemas dinámicos continuos en dos dimensiones . Sin embargo, esta conjetura no se cumple para dimensiones superiores a dos, un problema que los teoremas de convergencia autónoma intentan resolver. El primer teorema de convergencia autónoma fue desarrollado por Russell Smith. ^{[ 1 ]} Este teorema fue posteriormente perfeccionado por Michael Li y James Muldowney. ^{[ 2 ]}

Un teorema de convergencia autónoma relativamente simple es el siguiente:

Dejar${\displaystyle x}$ser un vector en algún espacio${\displaystyle X\subseteq \mathbb {R} ^{n}}$, evolucionando según una ecuación diferencial autónoma${\displaystyle {\dot {x}}=f(x)}$. Supongamos que${\displaystyle X}$es convexa e invariante hacia adelante bajo${\displaystyle f}$y que existe un punto fijo${\displaystyle {\hat {x}}\in X}$de tal manera que${\displaystyle f({\hat {x}})=0}$. Si existe una norma logarítmica${\displaystyle \mu }$de tal manera que el jacobino${\displaystyle J(x)=D_{x}f}$Satisface${\displaystyle \mu (J(x))<0}$para todos los valores de${\displaystyle x}$, entonces${\displaystyle {\hat {x}}}$es el único punto fijo y es globalmente asintóticamente estable. ^{[ 3 ] [ 4 ]}

Este teorema de convergencia autónoma está estrechamente relacionado con el teorema del punto fijo de Banach .

Nota: esta es una descripción intuitiva de cómo los teoremas de convergencia autónoma garantizan la estabilidad, no una descripción estrictamente matemática.

El punto clave en el teorema de ejemplo dado anteriormente es la existencia de una norma logarítmica negativa, que se deriva de una norma vectorial . La norma vectorial mide efectivamente la distancia entre puntos en el espacio vectorial en el que se define la ecuación diferencial, y la norma logarítmica negativa significa que las distancias entre puntos, medidas por la norma vectorial correspondiente, disminuyen con el tiempo bajo la acción de${\displaystyle f}$Mientras las trayectorias de todos los puntos en el espacio de fases estén acotadas , todas las trayectorias deben, por lo tanto, converger eventualmente al mismo punto.

Los teoremas de convergencia autónoma de Russell Smith, Michael Li y James Muldowney funcionan de manera similar, pero se basan en demostrar que el área de las figuras bidimensionales en el espacio de fases disminuye con el tiempo. Esto implica que no pueden existir órbitas periódicas , ya que todos los bucles cerrados deben converger a un punto. Si el sistema es acotado, según el lema de cierre de Pugh, tampoco puede haber comportamiento caótico , por lo que todas las trayectorias deben alcanzar finalmente un equilibrio.

Michael Li también ha desarrollado un teorema de convergencia autónoma extendido que es aplicable a sistemas dinámicos que contienen una variedad invariante . ^{[ 5 ]}