Ecuación característica (cálculo)

En matemáticas , la ecuación característica (o ecuación auxiliar ^{[ 1 ]} ) es una ecuación algebraica de grado $n$ de la cual depende la solución de una ecuación diferencial de orden $n$ dada ^[²^] o ecuación en diferencias . ^[³^]^[⁴^] La ecuación característica solo puede formarse cuando la ecuación diferencial es lineal y homogénea , y tiene coeficientes constantes . ^[¹^] Dicha ecuación diferencial, con $y$ como variable dependiente , superíndice $($ $n$ $)$ que denota la n - ^ésimaderivada , y $a$ $n$ $,$ $a$ $n$ $- 1$ $, ...,$ $a$ $1$ $,$ $a$ $0$ como constantes,

a_{n}y^{(n)}+a_{n-1}y^{(n-1)}+\cdots +a_{1}y'+a_{0}y=0,

tendrá una ecuación característica de la forma

a_{n}r^{n}+a_{n-1}r^{n-1}+\cdots +a_{1}r+a_{0}=0

cuyas soluciones $r 1, r 2, ..., r n$ son las raíces a partir de las cuales se puede formar la solución general . ^{[ 1 ]}^{[ 5 ]}^{[ 6 ]} Análogamente, una ecuación de diferencias lineal de la forma

y_{t+n}=b_{1}y_{t+n-1}+\cdots +b_{n}y_{t}

tiene ecuación característica

r^{n}-b_{1}r^{n-1}-\cdots -b_{n}=0,

Se analiza con más detalle en Recurrencia lineal con coeficientes constantes .

Las raíces características ( raíces de la ecuación característica) también proporcionan información cualitativa sobre el comportamiento de la variable cuya evolución se describe mediante la ecuación dinámica. Para una ecuación diferencial parametrizada en el tiempo, la evolución de la variable es estable si y solo si la parte real de cada raíz es negativa. Para ecuaciones en diferencias, la estabilidad se da si y solo si el módulo de cada raíz es menor que 1. En ambos tipos de ecuaciones, se producen fluctuaciones persistentes si existe al menos un par de raíces complejas .

El método de integración de ecuaciones diferenciales ordinarias lineales con coeficientes constantes fue descubierto por Leonhard Euler , quien halló que las soluciones dependían de una ecuación algebraica «característica». ^{[ 2 ]} Las cualidades de la ecuación característica de Euler fueron posteriormente estudiadas con mayor detalle por los matemáticos franceses Augustin-Louis Cauchy y Gaspard Monge . ^{[ 2 ]}^{[ 6 ]}

Derivación

Partiendo de una ecuación diferencial lineal homogénea con coeficientes constantes $a n, a n - 1, ..., a 1, a 0$ ,

a_{n}y^{(n)}+a_{n-1}y^{(n-1)}+\cdots +a_{1}y^{\prime }+a_{0}y=0,

Se puede observar que si $y (x) = e rx$ , cada término sería un múltiplo constante de $e rx$ . Esto se debe a que la derivada de la función exponencial $e rx$ es un múltiplo de sí misma. Por lo tanto, $y' = re rx$ , $y'' = r² e rx$ y $y (n) = r n e rx$ son todos múltiplos. Esto sugiere que ciertos valores de $r$ permitirán que los múltiplos de $e$ $rx sumen$ cero, resolviendo así la ecuación diferencial homogénea. ^{[ 5 ]} Para resolver $r$ , se puede sustituir $y = e rx$ y sus derivadas en la ecuación diferencial para obtener

a_{n}r^{n}e^{rx}+a_{n-1}r^{n-1}e^{rx}+\cdots +a_{1}re^{rx}+a_{0}e^{rx}=0

Dado que $e rx$ nunca puede ser igual a cero, se puede dividir, obteniendo así la ecuación característica.

a_{n}r^{n}+a_{n-1}r^{n-1}+\cdots +a_{1}r+a_{0}=0.

Al resolver para las raíces, $r$ , en esta ecuación característica, se puede encontrar la solución general de la ecuación diferencial. ^{[ 1 ]}^{[ 6 ]} Por ejemplo, si $r$ tiene raíces iguales a 3, 11 y 40, entonces la solución general será $y(x)=c_{1}e^{3x}+c_{2}e^{11x}+c_{3}e^{40x}$ , dónde $c_{1}$ , $c_{2}$ , y $c_{3}$ son constantes arbitrarias que deben determinarse mediante las condiciones de contorno y/o iniciales.

Formación de la solución general

Resolver la ecuación característica para sus raíces, $r 1, ..., r n$ , permite encontrar la solución general de la ecuación diferencial. Las raíces pueden ser reales o complejas , así como distintas o repetidas. Si una ecuación característica tiene partes con raíces reales distintas, $h$ raíces repetidas o $k$ raíces complejas que corresponden a soluciones generales de $y D (x)$ , $y R 1 (x), ..., y R h (x)$ , y $C 1 (x), ..., y C k (x)$ , respectivamente, entonces la solución general de la ecuación diferencial es

y(x)=y_{\mathrm {D} }(x)+y_{\mathrm {R} _{1}}(x)+\cdots +y_{\mathrm {R} _{h}}(x)+y_{\mathrm {C} _{1}}(x)+\cdots +y_{\mathrm {C} _{k}}(x)

Ejemplo

La ecuación diferencial lineal homogénea con coeficientes constantes

y^{(5)}+y^{(4)}-4y^{(3)}-16y''-20y'-12y=0

tiene la ecuación característica

r^{5}+r^{4}-4r^{3}-16r^{2}-20r-12=0

Al factorizar la ecuación característica en

(r-3)(r^{2}+2r+2)^{2}=0

Se puede observar que las soluciones para $r$ son la raíz única distinta $r 1 = 3$ y las raíces complejas dobles $r 2,3,4,5 = 1 \pm i$ . Esto corresponde a la solución general de valor real.

y(x)=c_{1}e^{3x}+e^{x}(c_{2}\cos x+c_{3}\sin x)+xe^{x}(c_{4}\cos x+c_{5}\sin x)

con constantes $c 1, ..., c 5$ .

Raíces reales distintas

El principio de superposición para ecuaciones lineales homogéneas establece que si $u 1, ..., u n$ son $n$ soluciones linealmente independientes de una ecuación diferencial particular, entonces $c 1 u 1 + \dots + c n u n$ también es una solución para todos los valores $c 1, ..., c n$ . ^{[ 1 ]}^{[ 7 ]} Por lo tanto, si la ecuación característica tiene raíces reales distintas $r 1, ..., r n$ , entonces una solución general será de la forma

y_{\mathrm {D} }(x)=c_{1}e^{r_{1}x}+c_{2}e^{r_{2}x}+\cdots +c_{n}e^{r_{n}x}

Raíces reales repetidas

Si la ecuación característica tiene una raíz $r 1$ que se repite $k$ veces, entonces es claro que $y p (x) = c 1 e r 1 x$ es al menos una solución. ^{[ 1 ]} Sin embargo, esta solución carece de soluciones linealmente independientes de las otras $k - 1$ raíces. Dado que $r 1$ tiene multiplicidad $k$ , la ecuación diferencial se puede factorizar en ^{[ 1 ]}

\left({\frac {d}{dx}}-r_{1}\right)^{k}y=0.

El hecho de que $y p (x) = c 1 e r 1 x$ sea una solución permite suponer que la solución general puede ser de la forma $y (x) = u (x) e r 1 x$ , donde $u (x)$ es una función por determinar. Sustituyendo $ue r 1 x$ se obtiene

\left({\frac {d}{dx}}-r_{1}\right)\!ue^{r_{1}x}={\frac {d}{dx}}\left(ue^{r_{1}x}\right)-r_{1}ue^{r_{1}x}={\frac {d}{dx}}(u)e^{r_{1}x}+r_{1}ue^{r_{1}x}-r_{1}ue^{r_{1}x}={\frac {d}{dx}}(u)e^{r_{1}x}

cuando $k = 1.$ Al aplicar este hecho $k$ veces, se deduce que

\left({\frac {d}{dx}}-r_{1}\right)^{k}ue^{r_{1}x}={\frac {d^{k}}{dx^{k}}}(u)e^{r_{1}x}=0.

Al dividir $e r 1 x$ , se puede ver que

{\frac {d^{k}}{dx^{k}}}(u)=u^{(k)}=0.

Por lo tanto, el caso general para $u (x)$ es un polinomio de grado $k - 1$ , de modo que $u (x) = c 1 + c 2 x + c 3 x 2 + \dots + c k x k -1$ . ^{[ 6 ]} Dado que $y (x) = ue r 1 x$ , la parte de la solución general correspondiente a $r 1$ es

y_{\mathrm {R} }(x)=e^{r_{1}x}\!\left(c_{1}+c_{2}x+\cdots +c_{k}x^{k-1}\right).

Raíces complejas

Si una ecuación diferencial de segundo orden tiene una ecuación característica con raíces complejas conjugadas de la forma $r 1 = a + bi$ y $r 2 = a - bi$ , entonces la solución general es, en consecuencia, $y (x) = c 1 e (a + bi) x + c 2 e (a - bi) x$ . Por la fórmula de Euler , que establece que $e iθ = cos(θ) + i sin(θ)$ , esta solución se puede reescribir de la siguiente manera:

{\begin{aligned}y(x)&=c_{1}e^{(a+bi)x}+c_{2}e^{(a-bi)x}\\&=c_{1}e^{ax}(\cos bx+i\sin bx)+c_{2}e^{ax}(\cos bx-i\sin bx)\\&=\left(c_{1}+c_{2}\right)e^{ax}\cos bx+i(c_{1}-c_{2})e^{ax}\sin bx\end{aligned}}

donde $c 1$ y $c 2$ son constantes que pueden ser no reales y que dependen de las condiciones iniciales. ^{[ 6 ]} (De hecho, dado que $y (x)$ es real, $c 1 - c 2$ debe ser imaginario o cero y $c 1 + c 2$ debe ser real, para que ambos términos después del último signo de igualdad sean reales).

Por ejemplo, si $c 1 = c 2 = 1 / 2,$ entonces se forma la solución particular $y 1 (x) = e ax cos(bx) .$ $De$ $manera similar, si c 1 = 1 / 2 i$ y $c 2 = -$ $1$ $/$ $2$ $i$ $,$ $entonces$ la solución independiente formada es $y 2 (x) = e ax sin(bx)$ $. Así$ $,$ por el principio de superposición para ecuaciones diferenciales homogéneas lineales , una ecuación diferencial de segundo orden con raíces complejas $r = a \pm bi$ dará como resultado la siguiente solución general:

y_{\mathrm {C} }(x)=e^{ax}(C_{1}\cos bx+C_{2}\sin bx)

Este análisis también se aplica a las partes de las soluciones de una ecuación diferencial de orden superior cuya ecuación característica involucra raíces conjugadas complejas no reales.

Véase también

Polinomio característico

Referencias

1 2 3 4 5 6 7 Edwards, C. Henry; Penney, David E. (2008). «Capítulo 3». Ecuaciones diferenciales: Cálculo y modelado . David Calvis. Upper Saddle River , Nueva Jersey : Pearson Education. págs. 156–170 . ISBN 978-0-13-600438-7.
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↑ Baumol, William J. (1970). Dinámica económica (3.ª ed.). pág. 172 .
↑ Chiang, Alpha (1984). Métodos fundamentales de economía matemática (3.ª ed.). McGraw-Hill. págs. 578 , 600. ISBN 9780070107809.
1 2 Chu, Herman; Shah, Gaurav; Macall, Tom. "Ecuaciones diferenciales ordinarias homogéneas lineales con coeficientes constantes" . eFunda . Consultado el 1 de marzo de 2011 .
1 2 3 4 5 Cohen, Abraham (1906). Un tratado elemental sobre ecuaciones diferenciales . DC Heath and Company .
↑ Dawkins, Paul. "Terminología de ecuaciones diferenciales" . Notas de matemáticas en línea de Paul . Consultado el 2 de marzo de 2011 .

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