Axioma de adjunción

En la teoría matemática de conjuntos, el axioma de adjunción establece que para cualesquiera dos conjuntos x , y existe un conjunto w  = x ∪ { y } dado por la "adjunción" del conjunto y al conjunto x . Se enuncia como   

${\displaystyle \forall x.\forall y.\exists w.\forall z.{\big (}z\in w\leftrightarrow (z\in x\lor z=y){\big )}.}$

Bernays ( 1937 , página 68, axioma II (2)) introdujo el axioma de adjunción como uno de los axiomas de un sistema de teoría de conjuntos que presentó alrededor de 1929. Es un axioma débil, utilizado en algunos sistemas débiles de teoría de conjuntos, como la teoría general de conjuntos o la teoría finita de conjuntos . La operación de adjunción también se utiliza como una de las operaciones de las funciones recursivas primitivas de conjuntos . 

Tarski y Szmielew demostraron que la aritmética de Robinson (${\displaystyle {\mathsf {Q}}}$) puede interpretarse en una teoría débil de conjuntos cuyos axiomas son la extensionalidad , la existencia del conjunto vacío y el axioma de adjunción ( Tarski 1953 , p. 34) . De hecho, en el lenguaje de la teoría de conjuntos extendida con un símbolo de función para la adjunción, los axiomas del conjunto vacío y la adjunción por sí solos (sin extensionalidad) bastan para interpretar${\displaystyle {\mathsf {Q}}}$. ^{[ 1 ]} (Son mutuamente interpretables.)

Agregar inducción épsilon al conjunto vacío y la adjunción produce una teoría que es mutuamente interpretable con la aritmética de Peano (${\displaystyle {\mathsf {PA}}}$). Otro esquema axiomático también produce una teoría que es mutuamente interpretable con${\displaystyle {\mathsf {PA}}}$: ^{[ 2 ]}

${\displaystyle \forall x.\forall y.\exists w.\forall z.{\Big (}z\in w\leftrightarrow {\big (}(z\in x\lor z=y)\land \phi {\big )}{\Big )}}$,

dónde${\displaystyle \phi }$no está permitido tener${\displaystyle w}$libre. Esto combina axiomas de la teoría de conjuntos: Para${\displaystyle \phi }$trivialmente cierto que se reduce al axioma de adjunción anterior, y para${\displaystyle (z\neq y)\land P}$da el axioma de separación con${\displaystyle P}$.