Axioma del conjunto de potencias

En matemáticas , el axioma del conjunto potencia ^{[ 1 ]} es uno de los axiomas de Zermelo-Fraenkel de la teoría axiomática de conjuntos . Garantiza para cada conjunto${\displaystyle x}$la existencia de un conjunto${\displaystyle {\mathcal {P}}(x)}$, el conjunto de potencias de${\displaystyle x}$, que consiste precisamente en los subconjuntos de${\displaystyle x}$. Por el axioma de extensionalidad , el conjunto${\displaystyle {\mathcal {P}}(x)}$es único.

El axioma del conjunto potencia aparece en la mayoría de las axiomatizaciones de la teoría de conjuntos. Generalmente se considera indiscutible, aunque la teoría constructiva de conjuntos prefiere una versión más débil para resolver las preocupaciones sobre la predicatividad .

La relación de subconjunto${\displaystyle \subseteq }$no es una noción primitiva en la teoría formal de conjuntos y no se utiliza en el lenguaje formal de los axiomas de Zermelo-Fraenkel. Más bien, la relación de subconjuntos${\displaystyle \subseteq }$se define en términos de pertenencia a un conjunto ,${\displaystyle \in }$Dado esto, en el lenguaje formal de los axiomas de Zermelo-Fraenkel, el axioma del conjunto potencia se lee:

${\displaystyle \forall x\,\exists y\,\forall z\,[z\in y\iff \forall w\,(w\in z\Rightarrow w\in x)]}$

donde y es el conjunto potencia de x , z es cualquier elemento de y , w es cualquier miembro de z .

En inglés, esto dice:

Dado cualquier conjunto x , existe un conjunto y tal que , dado cualquier conjunto z , este conjunto z es un miembro de y si y solo si cada elemento de z es también un elemento de x .

El axioma del conjunto potencia permite una definición sencilla del producto cartesiano de dos conjuntos.${\displaystyle X}$y${\displaystyle Y}$:

${\displaystyle X\times Y=\{(x,y):x\in X\land y\in Y\}.}$

Observa que

${\displaystyle x,y\in X\cup Y}$

${\displaystyle \{x\},\{x,y\}\in {\mathcal {P}}(X\cup Y)}$

y, por ejemplo, considerando un modelo que utiliza el par ordenado de Kuratowski ,

${\displaystyle (x,y)=\{\{x\},\{x,y\}\}\in {\mathcal {P}}({\mathcal {P}}(X\cup Y))}$

y por lo tanto el producto cartesiano es un conjunto ya que

${\displaystyle X\times Y\subseteq {\mathcal {P}}({\mathcal {P}}(X\cup Y)).}$

Se puede definir el producto cartesiano de cualquier colección finita de conjuntos de forma recursiva:

${\displaystyle X_{1}\times \cdots \times X_{n}=(X_{1}\times \cdots \times X_{n-1})\times X_{n}.}$

La existencia del producto cartesiano puede demostrarse sin utilizar el axioma del conjunto potencia, como en el caso de la teoría de conjuntos de Kripke-Platek .

El axioma del conjunto potencia no especifica qué subconjuntos de un conjunto existen, solo que existe un conjunto que contiene todos los que existen. ^{[ 2 ]} No se garantiza la existencia de todos los subconjuntos concebibles. En particular, el conjunto potencia de un conjunto infinito contendría solo "conjuntos construibles" si el universo es el universo construible . Pero en otros modelos de ZF, el universo podría contener conjuntos que no son construibles. ^{[ 3 ]}

• Paul Halmos , Teoría ingenua de conjuntos . Princeton, NJ: D. Van Nostrand Company, 1960. Reimpreso por Springer-Verlag, Nueva York, 1974. ISBN 0-387-90092-6(Edición de Springer-Verlag).
• Jech, Thomas, 2003. Teoría de conjuntos: Tercera edición del milenio, revisada y ampliada . Springer. ISBN 3-540-44085-2.
• Kunen, Kenneth, 1980. Teoría de conjuntos: Una introducción a las pruebas de independencia . Elsevier. ISBN 0-444-86839-9.

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