El problema de Büchi

En teoría de números , el problema de Büchi , también conocido como el problema de los n cuadrados , es un problema abierto que lleva el nombre del matemático suizo Julius Richard Büchi . Pregunta si existe un entero positivo M tal que cada secuencia de M o más cuadrados enteros, cuya segunda diferencia es constante e igual a 2, es necesariamente una secuencia de cuadrados de la forma ( x  +  i ) ² , i  = 1, 2, ...,  M ,... para algún entero  x . En 1983, Douglas Hensley observó que el problema de Büchi es equivalente al siguiente: ¿Existe un entero positivo M tal que, para todos los enteros x y a , la cantidad ( x  +  n ) ²  +  a no puede ser un cuadrado para más de M valores consecutivos de  n , a menos que  a  = 0?

El problema de Büchi se puede plantear de la siguiente manera: ¿Existe un entero positivo M tal que el sistema de ecuaciones

${\displaystyle {\begin{cases}x_{2}^{2}-2x_{1}^{2}+x_{0}^{2}=2\\x_{3}^{2}-2x_{2}^{2}+x_{1}^{2}=2\\{}\quad \vdots \\x_{M-1}^{2}-2x_{M-2}^{2}+x_{M-3}^{2}=2\end{cases}}}$

Sólo tiene soluciones satisfactorias${\displaystyle x_{n}^{2}=(x_{0}+n)^{2}.}$

Dado que la primera diferencia de la secuencia es la secuencia , la segunda diferencia de es ${\displaystyle \sigma =(x_{n}^{2})_{n=0,\puntos ,M-1}}$${\displaystyle \Delta ^{(1)}(\sigma )=(x_{n+1}^{2}-x_{n}^{2})_{n=0,\puntos ,M-2}}$${\estilo de visualización \sigma}$

${\displaystyle \Delta ^{(2)}(\sigma )=((x_{n+2}^{2}-x_{n+1}^{2})-(x_{n+1}^{2}-x_{n}^{2}))_{n=0,\puntos ,M-3}=(x_{n+2}^{2}-2x_{n+1}^{2}+x_{n}^{2})_{n=0,\puntos ,M-3}.}$

Por lo tanto, el sistema de ecuaciones anterior es equivalente a la ecuación única

${\displaystyle \Delta ^{(2)}(\sigma )=(2)_{n=0,\puntos ,M-3}}$

donde lo desconocido es la secuencia . ${\estilo de visualización \sigma}$

Observe que para cualquier entero x tenemos

${\displaystyle (\star )\qquad (x+2)^{2}-2(x+1)^{2}+x^{2}=2.}$

Por lo tanto, la ecuación tiene soluciones, llamadas secuencias de Büchi triviales de longitud tres , tales que y . Por ejemplo, las secuencias (2, 3, 4) y (2, −3, 4) son secuencias de Büchi triviales. Una secuencia de Büchi no trivial de longitud tres está dada, por ejemplo, por la secuencia (0, 7, 10), ya que satisface 10 ²  − 2·7 ²  + 0 ²  = 2, mientras que 0 ² , 7 ² y 10 ² no son cuadrados consecutivos. ${\displaystyle x_{2}^{2}-2x_{1}^{2}+x_{0}^{2}=2}$${\displaystyle x_{2}^{2}=(x_{0}+2)^{2}}$$Estilo de visualización x_{1}^{2}=(x_{0}+1)^{2}}$

Reemplazando x por x  + 1 en la ecuación , obtenemos . Por lo tanto el sistema de ecuaciones ${\estilo de visualización (\estrella)}$${\displaystyle (x+3)^{2}-2(x+2)^{2}+(x+1)^{2}=2}$

${\displaystyle {\begin{cases}x_{2}^{2}-2x_{1}^{2}+x_{0}^{2}=2\\x_{3}^{2}-2x_{2}^{2}+x_{1}^{2}=2\end{cases}}}$

tiene soluciones Büchi triviales de longitud 4, es decir, la que satisface para n  = 0, 1, 2, 3. En 1983, D. Hensley demostró que hay infinitas secuencias Büchi no triviales de longitud cuatro. No se sabe si existe alguna secuencia Büchi no trivial de longitud cinco (de hecho, Büchi originalmente planteó la cuestión sólo para  M  = 5). $Estilo de visualización x_{n}^{2}=(x_{0}+n)^{2}}$

Una respuesta positiva al problema de Büchi implicaría, utilizando la respuesta negativa al décimo problema de Hilbert de Yuri Matiyasevich , que no existe un algoritmo para decidir si un sistema de formas cuadráticas diagonales con coeficientes enteros representa una tupla entera. De hecho, Büchi observó que la elevación al cuadrado, y por lo tanto la multiplicación, sería existencialmente definible en los números enteros sobre el lenguaje de primer orden que tiene dos símbolos de constante para 0 y 1, un símbolo de función para la suma y un símbolo de relación P para expresar que un número entero es un cuadrado.

Paul Vojta demostró en 1999 que una respuesta positiva al problema de Büchi se derivaría de una respuesta positiva a una versión débil de la conjetura de Bombieri-Lang . En el mismo artículo, demuestra que el análogo del problema de Büchi para el cuerpo de funciones meromórficas sobre los números complejos tiene una respuesta positiva. Desde entonces se han obtenido respuestas positivas a análogos del problema de Büchi en varios otros anillos de funciones (en el caso de los anillos de funciones, se añade la hipótesis de que no todos los x _n son constantes).

• Vojta, Paul (1999), Formas cuadráticas diagonales y el décimo problema de Hilbert , pp. 261–274 en El décimo problema de Hilbert: relaciones con la aritmética y la geometría algebraica (Ghent, 1999), editado por J. Denef et al., Contemp. Math. 270, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2000.
• Lipshitz, Leonard (1990), "Formas cuadráticas, el problema de los cinco cuadrados y ecuaciones diofánticas" en Obras completas de J. Richard Büchi . Editado por Saunders Mac Lane y Dirk Siefkes. Springer, Nueva York.
• Hensley, Douglas (1983), “Secuencias de cuadrados con segunda diferencia de dos y una conjetura de Büchi”, inédito.