Modelo Bühlmann

En la teoría de la credibilidad , una rama de estudio de la ciencia actuarial , el modelo de Bühlmann es un modelo de efectos aleatorios (o "modelo de componentes de la varianza" o modelo lineal jerárquico ) utilizado para determinar la prima adecuada para un grupo de contratos de seguros. El modelo recibe su nombre de Hans Bühlmann, quien publicó por primera vez una descripción en 1967. ^[1]

Consideremos i riesgos que generan pérdidas aleatorias para los cuales se dispone de datos históricos de m reclamaciones recientes (indexados por j ). Se debe determinar una prima para el i -ésimo riesgo en función del valor esperado de las reclamaciones. Se busca un estimador lineal que minimice el error cuadrático medio. Escriba

• X _ij para la j -ésima reclamación sobre el i -ésimo riesgo (suponemos que todas las reclamaciones por el i -ésimo riesgo son independientes y están distribuidas de forma idéntica )
• ${\displaystyle \scriptstyle ={\frac {1}{m}}\sum _{j=1}^{m}X_{ij}}$para el valor promedio.
• ${\displaystyle \Theta _{i}}$- el parámetro para la distribución del riesgo i-ésimo
• ${\displaystyle m(\vartheta )=\nombre del operador {E} \left[X_{ij}|\Theta _{i}=\vartheta \right]}$
• ${\displaystyle \Pi =\operatorname {E} (m(\vartheta )|X_{i1},X_{i2},...X_{im})}$- prima por el i-ésimo riesgo
• ${\displaystyle \mu =\operatorname {E} (m(\vartheta ))}$
• ${\displaystyle s^{2}(\vartheta )=\operatorname {Var} \left[X_{ij}|\Theta _{i}=\vartheta \right]}$
• ${\displaystyle \sigma ^{2}=\operatorname {E} \left[s^{2}(\vartheta )\right]}$
• ${\displaystyle v^{2}=\nombre del operador {Var} \left[m(\vartheta )\right]}$

Nota: y son funciones de parámetro aleatorio${\displaystyle m(\vartheta )}$${\displaystyle s^{2}(\vartheta )}$${\estilo de visualización \vartheta}$

El modelo de Bühlmann es la solución al problema:

${\displaystyle {\underset {a_{i0},a_{i1},...,a_{im}}{\operatorname {arg\,min} }}\operatorname {E} \left[\left(a_{i0}+\sum _{j=1}^{m}a_{ij}X_{ij}-\Pi \right)^{2}\right]}$

donde es el estimador de la prima y arg min representa los valores de los parámetros que minimizan la expresión. ${\displaystyle a_{i0}+\sum _{j=1}^{m}a_{ij}X_{ij}}$${\estilo de visualización \Pi}$

La solución al problema es:

${\displaystyle Z{\bar {X}}_{i}+(1-Z)\mu }$

dónde:

${\displaystyle Z={\frac {1}{1+{\frac {\sigma ^{2}}{v^{2}m}}}}}$

Podemos darle a este resultado la interpretación de que la parte Z de la prima se basa en la información que tenemos sobre el riesgo específico, y la parte (1-Z) se basa en la información que tenemos sobre toda la población.

La siguiente prueba es ligeramente diferente a la del artículo original. También es más general, porque considera todos los estimadores lineales, mientras que la prueba original solo considera estimadores basados ​​en la afirmación promedio. ^[2]

Lema. El problema puede enunciarse alternativamente como:

${\displaystyle f=\mathbb {E} \left[\left(a_{i0}+\sum _{j=1}^{m}a_{ij}X_{ij}-m(\vartheta )\right)^{2}\right]\to \min }$

Prueba:

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbb {E} \left[\left(a_{i0}+\sum _{j=1}^{m}a_{ij}X_{ij}-m(\vartheta )\right)^{2}\right]&=\mathbb {E} \left[\left(a_{i0}+\sum _{j=1}^{m}a_{ij}X_{ij}-\Pi \right)^{2}\right]+\mathbb {E} \left[\left(m(\vartheta )-\Pi \right)^{2}\right]-2\mathbb {E} \left[\left(a_{i0}+\sum _{j=1}^{m}a_{ij}X_{ij}-\Pi \right)\left(m(\vartheta )-\Pi \right)\right]\\&=\mathbb {E} \left[\left(a_{i0}+\sum _{j=1}^{m}a_{ij}X_{ij}-\Pi \right)^{2}\right]+\mathbb {E} \left[\left(m(\vartheta )-\Pi \right)^{2}\right]\end{alineado}}}$

La última ecuación se deduce del hecho de que

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbb {E} \left[\left(a_{i0}+\sum _{j=1}^{m}a_{ij}X_{ij}-\Pi \right)\left(m(\vartheta )-\Pi \right)\right]&=\mathbb {E} _{\Theta }\left[\mathbb {E} _{X}\left.\left[\left(a_{i0}+\sum _{j=1}^{m}a_{ij}X_{ij}-\Pi \right)(m(\vartheta )-\Pi )\right|X_{i1},\ldots ,X_{im}\right]\right]\\&=\mathbb {E} _{\Theta }\left[\left(a_{i0}+\sum _{j=1}^{m}a_{ij}X_{ij}-\Pi \right)\left[\mathbb {E} _{X}\left[(m(\vartheta )-\Pi )|X_{i1},\ldots ,X_{im}\right]\right]\right]\\&=0\end{aligned}}}$

Estamos utilizando aquí la ley de la expectativa total y el hecho de que${\displaystyle \Pi =\mathbb {E} [m(\vartheta )|X_{i1},\ldots ,X_{im}].}$

En nuestra ecuación anterior, descomponemos la función minimizada en la suma de dos expresiones. La segunda expresión no depende de los parámetros utilizados en la minimización. Por lo tanto, minimizar la función es lo mismo que minimizar la primera parte de la suma.

Encontremos los puntos críticos de la función.

${\displaystyle {\frac {1}{2}}{\frac {\partial f}{\partial a_{i0}}}=\mathbb {E} \left[a_{i0}+\sum _{j=1}^{m}a_{ij}X_{ij}-m(\vartheta )\right]=a_{i0}+\sum _{j=1}^{m}a_{ij}\mathbb {E} (X_{ij})-\mathbb {E} (m(\vartheta ))=a_{i0}+\left(\sum _{j=1}^{m}a_{ij}-1\right)\mu }$

${\displaystyle a_{i0}=\left(1-\sum _{j=1}^{m}a_{ij}\right)\mu }$

Porque tenemos: ${\displaystyle k\neq 0}$

${\displaystyle {\frac {1}{2}}{\frac {\partial f}{\partial a_{ik}}}=\mathbb {E} \left[X_{ik}\left(a_{i0}+\sum _{j=1}^{m}a_{ij}X_{ij}-m(\vartheta )\right)\right]=\mathbb {E} \left[X_{ik}\right]a_{i0}+\sum _{j=1,j\neq k}^{m}a_{ij}\mathbb {E} [X_{ik}X_{ij}]+a_{ik}\mathbb {E} [X_{ik}^{2}]-\mathbb {E} [X_{ik}m(\vartheta )]=0}$

Podemos simplificar la derivada, observando que:

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbb {E} [X_{ij}X_{ik}]&=\mathbb {E} \left[\mathbb {E} [X_{ij}X_{ik}|\vartheta ]\right]=\mathbb {E} [{\text{cov}}(X_{ij}X_{ik}|\vartheta )+\mathbb {E} (X_{ij}|\vartheta )\mathbb {E} (X_{ik}|\vartheta )]=\mathbb {E} [(m(\vartheta ))^{2}]=v^{2}+\mu ^{2}\\\mathbb {E} [X_{ik}^{2}]&=\mathbb {E} \left[\mathbb {E} [X_{ik}^{2}|\vartheta ]\right]=\mathbb {E} [s^{2}(\vartheta )+(m(\vartheta ))^{2}]=\sigma ^{2}+v^{2}+\mu ^{2}\\\mathbb {E} [X_{ik}m(\vartheta )]&=\mathbb {E} [\mathbb {E} [X_{ik}m(\vartheta )|\Theta _{i}]=\mathbb {E} [(m(\vartheta ))^{2}]=v^{2}+\mu ^{2}\end{aligned}}}$

Tomando las ecuaciones anteriores e insertándolas en la derivada, tenemos:

${\displaystyle {\frac {1}{2}}{\frac {\partial f}{\partial a_{ik}}}=\left(1-\sum _{j=1}^{m}a_{ij}\right)\mu ^{2}+\sum _{j=1,j\neq k}^{m}a_{ij}(v^{2}+\mu ^{2})+a_{ik}(\sigma ^{2}+v^{2}+\mu ^{2})-(v^{2}+\mu ^{2})=a_{ik}\sigma ^{2}-\left(1-\sum _{j=1}^{m}a_{ij}\right)v^{2}=0}$

${\displaystyle \sigma ^{2}a_{ik}=v^{2}\left(1-\sum _{j=1}^{m}a_{ij}\right)}$

El lado derecho no depende de k . Por lo tanto, todos son constantes. ${\displaystyle a_{ik}}$

${\displaystyle a_{i1}=\cdots =a_{im}={\frac {v^{2}}{\sigma ^{2}+mv^{2}}}}$

De la solución que tenemos ${\displaystyle a_{i0}}$

${\displaystyle a_{i0}=(1-ma_{ik})\mu =\left(1-{\frac {mv^{2}}{\sigma ^{2}+mv^{2}}}\right)\mu }$

Finalmente, el mejor estimador es

${\displaystyle a_{i0}+\sum _{j=1}^{m}a_{ij}X_{ij}={\frac {mv^{2}}{\sigma ^{2}+mv^{2}}}{\bar {X_{i}}}+\left(1-{\frac {mv^{2}}{\sigma ^{2}+mv^{2}}}\right)\mu =Z{\bar {X_{i}}}+(1-Z)\mu }$