polinomio de Bernstein-Sato

En matemáticas , el polinomio de Bernstein-Sato es un polinomio relacionado con los operadores diferenciales , introducido independientemente por Joseph Bernstein (1971) ^{[ 1 ]} y Mikio Sato y Takuro Shintani ( 1972 , 1974 ) , ^{[ 2 ] [ 3 ]} Sato (1990). ^{[ 4 ]} También se le conoce como la función b , el polinomio b y el polinomio de Bernstein , aunque no está relacionado con los polinomios de Bernstein utilizados en la teoría de la aproximación . Tiene aplicaciones en la teoría de singularidades , la teoría de la monodromía y la teoría cuántica de campos . 

Severino Coutinho ( 1995 ) ^{[ 5 ]} ofrece una introducción elemental, mientras que Armand Borel ( 1987 ) ^{[ 6 ]} y Masaki Kashiwara ( 2003 ) ^{[ 7 ]} ofrecen explicaciones más avanzadas.   

Si${\displaystyle f(x)}$es un polinomio en varias variables, entonces hay un polinomio distinto de cero${\displaystyle b(s)}$y un operador diferencial${\displaystyle P(s)}$con coeficientes polinómicos tales que

${\displaystyle P(s)f(x)^{s+1}=b(s)f(x)^{s}.}$

El polinomio de Bernstein-Sato es el polinomio mónico de menor grado entre dichos polinomios.${\displaystyle b(s)}$Su existencia puede demostrarse utilizando la noción de D-módulos holonómicos .

Kashiwara (1976) demostró que todas las raíces del polinomio de Bernstein-Sato son números racionales negativos . ^{[ 8 ]}

El polinomio de Bernstein-Sato también puede definirse para productos de potencias de varios polinomios. ^{[ 9 ]} En este caso, es un producto de factores lineales con coeficientes racionales.

Nero Budur, Mircea Mustață y Morihiko Saito ( 2006 ) generalizaron el polinomio de Bernstein-Sato a variedades arbitrarias . ^{[ 10 ]} 

El polinomio de Bernstein-Sato se puede calcular algorítmicamente. Sin embargo, dichos cálculos son difíciles en general. Existen implementaciones de algoritmos relacionados en los sistemas de álgebra computacional RISA/Asir, Macaulay2 y SINGULAR .

Daniel Andres, Viktor Levandovskyy y Jorge Martín-Morales ( 2009 ) ^{[ 11 ]} presentaron algoritmos para calcular el polinomio de Bernstein-Sato de una variedad afín junto con una implementación en el sistema de álgebra computacional SINGULAR . Christine Berkesch y Anton Leykin ( 2010 ) describieron algunos de los algoritmos para calcular polinomios de Bernstein-Sato por computadora. ^{[ 12 ]}  

• Si${\displaystyle f(x)=x_{1}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}\,}$entonces

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\partial _{i}^{2}f(x)^{s+1}=4(s+1)\left(s+{\frac {n}{2}}\right)f(x)^{s}}$

por lo tanto el polinomio de Bernstein-Sato es

${\displaystyle b(s)=(s+1)\left(s+{\frac {n}{2}}\right).}$

• Si${\displaystyle f(x)=x_{1}^{n_{1}}x_{2}^{n_{2}}\cdots x_{r}^{n_{r}}}$entonces

${\displaystyle \prod _{j=1}^{r}\partial _{x_{j}}^{n_{j}}\quad f(x)^{s+1}=\prod _{j=1}^{r}\prod _{i=1}^{n_{j}}(n_{j}s+i)\quad f(x)^{s}}$

entonces

${\displaystyle b(s)=\prod _{j=1}^{r}\prod _{i=1}^{n_{j}}\left(s+{\frac {i}{n_{j}}}\right).}$

• El polinomio de Bernstein- ^Sato de x² + y³ ^es  

${\displaystyle (s+1)\left(s+{\frac {5}{6}}\right)\left(s+{\frac {7}{6}}\right).}$

• Si t _ij son n ² variables, entonces el polinomio de Bernstein-Sato de det( t _ij ) viene dado por

${\displaystyle (s+1)(s+2)\cdots (s+n)}$

lo cual se deduce de

${\displaystyle \Omega (\det(t_{ij})^{s})=s(s+1)\cdots (s+n-1)\det(t_{ij})^{s-1}}$

donde Ω es el proceso omega de Cayley , que a su vez se deriva de la identidad de Capelli .

• Si${\displaystyle f(x)}$es un polinomio no negativo entonces${\displaystyle f(x)^{s}}$, inicialmente definida para s con parte real no negativa, puede extenderse analíticamente a una función de distribución meromorfa de s mediante el uso repetido de la ecuación funcional.

${\displaystyle f(x)^{s}={1 \over b(s)}P(s)f(x)^{s+1}.}$

Puede tener polos siempre que b ( s  + n ) sea cero para un entero no negativo n . 

• Si f ( x ) es un polinomio, no idénticamente cero, entonces tiene una inversa g que es una distribución; ^{[ a ]} ​​en otras palabras, f  g  =  1 como distribuciones. Si f ( x ) es no negativo, la inversa se puede construir usando el polinomio de Bernstein-Sato tomando el término constante de la expansión de Laurent de f ( x ) ^s en s  = − 1. Para cualquier f ( x ) simplemente tome ${\displaystyle {\bar {f}}(x)}$veces el inverso de${\displaystyle {\bar {f}}(x)f(x).}$
• El teorema de Malgrange-Ehrenpreis establece que todo operador diferencial con coeficientes constantes tiene una función de Green . Al aplicar transformadas de Fourier, esto se deduce del hecho de que todo polinomio tiene una inversa distributiva, lo cual se demuestra en el párrafo anterior.
• Pavel Etingof (1999) ^{[ 13 ]} mostró cómo utilizar el polinomio de Bernstein para definir la regularización dimensional de manera rigurosa, en el caso euclidiano masivo.
• La ecuación funcional de Bernstein-Sato se utiliza en cálculos de algunos de los tipos más complejos de integrales singulares que aparecen en la teoría cuántica de campos . ^{[ 14 ]} Dichos cálculos son necesarios para mediciones de precisión en física de partículas elementales, como se practica, por ejemplo, en el CERN (véanse los artículos que citan ^{[ 14 ]} ). Sin embargo, los casos más interesantes requieren una generalización simple de la ecuación funcional de Bernstein-Sato al producto de dos polinomios.${\displaystyle (f_{1}(x))^{s_{1}}(f_{2}(x))^{s_{2}}}$, donde x tiene de 2 a 6  componentes escalares, y el par de polinomios tiene órdenes 2 y 3. Desafortunadamente, una determinación por fuerza bruta de los operadores diferenciales correspondientes${\displaystyle P(s_{1},s_{2})}$y${\displaystyle b(s_{1},s_{2})}$Hasta ahora, el uso de métodos para estos casos ha resultado prohibitivamente engorroso. En este tipo de aplicaciones, sería muy valioso idear maneras de evitar la explosión combinatoria del algoritmo de fuerza bruta.