Álgebra BCK

Un álgebra (en el sentido de álgebra universal)${\displaystyle \left(X;\ast ,0\right)}$de tipo${\displaystyle \left(2,0\right)}$se denomina álgebra BCI si, para cualquier${\displaystyle x,y,z\in X}$, satisface las siguientes condiciones. (Informalmente, podemos leer${\displaystyle 0}$como "verdad" y${\displaystyle x\ast y}$como "${\displaystyle y}$implica${\displaystyle x}$".)

BCI-1

${\displaystyle \left(\left(x\ast y\right)\ast \left(x\ast z\right)\right)\ast \left(z\ast y\right)=0}$

BCI-2

${\displaystyle \left(x\ast \left(x\ast y\right)\right)\ast y=0}$

BCI-3

${\displaystyle x\ast x=0}$

BCI-4

${\displaystyle x\ast y=0\land y\ast x=0\implies x=y}$

BCI-5

${\displaystyle x\ast 0=0\implies x=0}$

Un álgebra BCI${\displaystyle \left(X;\ast ,0\right)}$Se denomina álgebra BCK si satisface la siguiente condición:

BCK-1

${\displaystyle \forall x\in X:0\ast x=0.}$

Un orden parcial se puede definir entonces como x ≤ y si y solo si x * y = 0.

Se dice que un álgebra BCK es conmutativa si satisface:

${\displaystyle x\ast (x\ast y)=y\ast (y\ast x)}$

En un álgebra BCK conmutativa, x * ( x * y ) = x ∧ y es la mayor cota inferior de x e y bajo el orden parcial ≤.

Se dice que un álgebra BCK es acotada si tiene un elemento máximo, generalmente denotado por 1. En un álgebra BCK conmutativa acotada, la menor cota superior de dos elementos satisface x ∨ y = 1 * ((1 * x ) ∧ (1 * y )); eso la convierte en un retículo distributivo .