Conjetura del BGS

La conjetura de Bohigas-Giannoni-Schmit (BGS), también conocida como la conjetura de la matriz aleatoria , para sistemas mecánicos cuánticos simples ( ergódicos con un límite clásico ) con pocos grados de libertad , sostiene que los espectros de sistemas invariantes bajo inversión temporal, cuyos análogos clásicos son sistemas K, muestran las mismas propiedades de fluctuación predichas por el GOE ( conjuntos ortogonales gaussianos ). ^{[ 1 ] [ 2 ]}

Alternativamente, las medidas de fluctuación espectral de un sistema cuántico caótico clásico coinciden con las del conjunto de matriz aleatoria canónica en la misma clase de simetría ( unitaria , ortogonal o simpléctica ).

Es decir, el hamiltoniano de un análogo microscópico de un sistema caótico clásico puede modelarse mediante una matriz aleatoria de un conjunto gaussiano, ya que la distancia de unos pocos espaciamientos entre los valores propios de un operador hamiltoniano caótico se correlaciona estadísticamente de forma genérica con las leyes de espaciamiento para los valores propios de matrices aleatorias grandes.

Un ejemplo sencillo de los niveles de energía cuántica desplegados en un sistema caótico clásico que se correlacionan de esa manera serían los billares del Sinaí :

• Niveles de energía:${\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2{\mathit {m}}}}\bigtriangledown ^{2}\psi +{\mathit {V}}({\mathit {x}})\psi ={{\mathit {E}}_{\mathit {i}}}\psi }$
• Densidad espectral:${\displaystyle \rho ({\mathit {x}})=\sum _{\mathit {i}}\delta ({\mathit {x}}-{\mathit {E}}_{\mathit {i}})}$
• Densidad espectral promedio:${\displaystyle \langle \rho ({\mathit {x}})\rangle }$
• Correlación:${\displaystyle \langle \rho ({\mathit {x}})\rho ({\mathit {y}})\rangle -\langle \rho ({\mathit {x}})\rangle \langle \rho ({\mathit {y}})\rangle }$
• Despliegue:${\displaystyle \rho ({\mathit {x}})\rightarrow {\frac {\rho ({\mathit {x}})}{\langle \rho ({\mathit {x}})\rangle }}}$
• Correlación desplegada:${\displaystyle {\frac {\langle \rho ({\mathit {x}})\rho ({\mathit {y}})\rangle }{\langle \rho ({\mathit {x}})\rangle \langle \rho ({\mathit {y}})\rangle }}-1}$
• Conjetura del BGS:${\displaystyle {\frac {\langle \rho ({\mathit {x}})\rho ({\mathit {y}})\rangle }{\langle \rho ({\mathit {x}})\rangle \langle \rho ({\mathit {y}})\rangle }}-1={\frac {\langle \rho ({\mathit {x}})\rho ({\mathit {y}})\rangle _{\operatorname {RMT} }}{\langle \rho ({\mathit {x}})\rangle _{\operatorname {RMT} }\langle \rho ({\mathit {y}})\rangle _{\operatorname {RMT} }}}-1}$

La conjetura sigue sin probarse a pesar de las pruebas numéricas que la respaldan.

• la conjetura BGS en Scholarpedia .