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Orden de operaciones

En matemáticas y programación informática , el orden de las operaciones es un conjunto de convenciones sobre qué operaciones aritméticas realizar primero para evaluar una expres...

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En matemáticas y programación informática , el orden de las operaciones es un conjunto de convenciones sobre qué operaciones aritméticas realizar primero para evaluar una expresión matemática dada .

Estas convenciones se formalizan mediante una jerarquía de las operaciones. La jerarquía de una operación se denomina precedencia , y una operación con mayor precedencia se ejecuta antes que las de menor precedencia. Generalmente, las calculadoras ejecutan las operaciones con la misma precedencia de izquierda a derecha, [ 1 ] pero algunos lenguajes de programación y calculadoras adoptan convenciones diferentes.

Por ejemplo, la multiplicación tiene mayor precedencia que la suma, y ​​ha sido así desde la introducción de la notación algebraica moderna . [ 2 ] [ 3 ] Por lo tanto, en la expresión 1 + 2 × 3 , la multiplicación se realiza antes que la suma, y ​​la expresión tiene el valor 1 + (2 × 3) = 7 , y no (1 + 2) × 3 = 9 . Cuando se introdujeron los exponentes en los siglos XVI y XVII, se les dio precedencia sobre la suma y la multiplicación y se colocaron como superíndice a la derecha de su base. [ 2 ] Así, 3 + 5 2 = 28 y 3 × 5 2 = 75 .

Estas convenciones existen para evitar la ambigüedad notacional y permitir que la notación siga siendo breve. [ 4 ] Cuando se desea anular las convenciones de precedencia, o incluso simplemente enfatizarlas, se pueden usar paréntesis ( ). Por ejemplo, (2 + 3) × 4 = 20 obliga a que la suma preceda a la multiplicación, mientras que (3 + 5) 2 = 64 obliga a que la suma preceda a la exponenciación . Si se requieren varios pares de paréntesis en una expresión matemática (como en el caso de paréntesis anidados), los paréntesis pueden reemplazarse por otros tipos de corchetes para evitar confusiones, como en [2 × (3 + 4)] − 5 = 9 .

Estas convenciones solo tienen sentido cuando se utiliza la notación habitual (denominada notación infija ). Cuando se utiliza la notación funcional o polaca para todas las operaciones, el orden de las operaciones se deriva de la propia notación.

Orden convencional

El orden de las operaciones, es decir, el orden en que se realizan habitualmente las operaciones en una expresión, resulta de una convención adoptada en matemáticas, ciencia, tecnología y muchos lenguajes de programación informática . Se resume como: [ 2 ] [ 5 ]

  1. Paréntesis
  2. Exponenciación
  3. Multiplicación y división
  4. Suma y resta

Esto significa que, para evaluar una expresión, primero se evalúa cualquier subexpresión dentro de los paréntesis, trabajando de adentro hacia afuera si hay más de un conjunto. Ya sea dentro de los paréntesis o no, se debe aplicar primero la operación que tenga mayor precedencia en la lista anterior. Las operaciones de la misma precedencia se evalúan convencionalmente de izquierda a derecha.

Si cada división se reemplaza por la multiplicación por el recíproco (inverso multiplicativo), entonces las leyes asociativa y conmutativa de la multiplicación permiten multiplicar los factores de cada término en cualquier orden. A veces, la multiplicación y la división tienen la misma prioridad, o a veces la multiplicación tiene mayor prioridad que la división; véase la sección «  División y multiplicación mixtas» más adelante. Si cada resta se reemplaza por la suma del opuesto (inverso aditivo), entonces las leyes asociativa y conmutativa de la suma permiten sumar los términos en cualquier orden.

El símbolo radical√{\displaystyle \surd }⁠ , que significa una raíz cuadrada , se extiende tradicionalmente con una barra (el vínculo ) sobre el radicando; esto evita la necesidad de paréntesis alrededor del radicando. Otras funciones usan paréntesis alrededor de la entrada para evitar ambigüedad. [ 6 ] [ 7 ] [ a ] ​​Los paréntesis se pueden omitir si la entrada es una sola variable numérica o constante, [ 2 ] como en el caso de sin x = sin( x ) y sin π = sin( π ) . [ a ] ​​Tradicionalmente esta convención se extiende a los monomios ; por lo tanto, sin 3 x = sin(3 x ) e incluso sin ⁠ 1 / 2 ⁠ xy = sin( ⁠ 1 / 2 ⁠ xy ) , pero sin x + y = sin( x ) + y , porque x + y no es un monomio. Sin embargo, esta convención no es universalmente comprendida, y algunos autores prefieren el uso explícito de paréntesis. [ b ] Algunas calculadoras y lenguajes de programación requieren paréntesis alrededor de las entradas de las funciones, mientras que otros no.

Los paréntesis y los símbolos alternativos de agrupación pueden utilizarse para anular el orden habitual de las operaciones o para explicitar el orden previsto. Los símbolos agrupados pueden tratarse como una sola expresión. [ 2 ]

Ejemplos

La multiplicación precede a la suma:

1+2×3=1+6=7.{\displaystyle 1+2\times 3=1+6=7.}

Las subexpresiones entre paréntesis se evalúan primero:

(1+2)×3=3×3=9.{\displaystyle (1+2)\times 3=3\times 3=9.}

Exponenciación antes de la multiplicación, multiplicación antes de la resta:

1−2×34=1−2×81=1−162=−161.{\displaystyle 1-2\times 3^{4}=1-2\times 81=1-162=-161.}

Cuando una expresión se escribe como superíndice, se considera que el superíndice está agrupado por su posición sobre su base:

1+23+4=1+27=1+128=129.{\displaystyle 1+2^{3+4}=1+2^{7}=1+128=129.}

El operando de un símbolo raíz está determinado por la barra superior:

1+3+5=4+5=2+5=7.{\displaystyle {\sqrt {1+3}}+5={\sqrt {4}}+5=2+5=7.}

Una línea fraccionaria horizontal forma dos subexpresiones agrupadas, una arriba dividida por otra abajo:

1+23+4+5=37+5.{\displaystyle {\frac {1+2}{3+4}}+5={\frac {3}{7}}+5.}

Los paréntesis pueden anidarse y deben evaluarse desde el interior hacia el exterior. Para mayor legibilidad, los paréntesis exteriores pueden ser más grandes que los interiores. Alternativamente, a veces se utilizan otros símbolos de agrupación, como llaves { } o corchetes [ ] , junto con paréntesis ( ) . Por ejemplo:

[(1+2)÷(3+4)]+5=(3÷7)+5{\displaystyle {\bigl [}(1+2)\div (3+4){\bigr ]}+5=(3\div 7)+5}

Casos especiales

signo menos unario

Existen diferentes convenciones respecto a la operación unaria '−' (generalmente pronunciada "minus"). En matemáticas escritas o impresas, la expresión −3 2 se interpreta como −(3 2 ) = −9 . [ 2 ] [ 8 ] 

En algunas aplicaciones y lenguajes de programación, especialmente Microsoft Excel (y otras aplicaciones de hojas de cálculo), las operaciones unarias tienen mayor prioridad que las operaciones binarias; es decir, la resta unaria tiene mayor precedencia que la exponenciación, por lo que en esos lenguajes, −3 2 se interpretará como (−3) 2 = 9 . [ 9 ] [ 10 ] Esto no se aplica a la operación de resta binaria '−'; por ejemplo, en Microsoft Excel, las fórmulas =-2^2, =(-2)^2, y =0+-2^2devuelven 4, pero las fórmulas =0-2^2y =-(2^2)devuelven −4.

División y multiplicación combinadas

No existe una convención universal para interpretar una expresión que contenga tanto división, denotada por '÷', como multiplicación, denotada por '×'. Las convenciones propuestas incluyen asignar a las operaciones la misma precedencia y evaluarlas de izquierda a derecha, o bien tratar la división como una multiplicación por el recíproco y evaluarla en cualquier orden; [ 11 ] evaluar primero todas las multiplicaciones seguidas de las divisiones de izquierda a derecha; o bien, prescindir de dichas expresiones y, en su lugar, desambiguarlas siempre mediante paréntesis explícitos. [ 12 ]

Más allá de la educación primaria, el símbolo '÷' para la división se usa raramente, sino que se reemplaza por el uso de fracciones algebraicas . [ 13 ] Estas se escriben de manera más explícita e inequívoca "verticalmente" con el numerador apilado sobre el denominador separado por una barra de fracción. Pero también se pueden escribir "horizontalmente" con el numerador y el denominador separados por el símbolo de barra '/'. [ 14 ] Es decir, se evitan expresiones como a ÷ b en favor de ⁠ a / b ⁠ o a / b .

La multiplicación denotada por yuxtaposición (también conocida como multiplicación implícita ) crea una unidad visual y a menudo se le da mayor precedencia que a la mayoría de las demás operaciones. En la literatura académica, cuando las fracciones en línea se combinan con la multiplicación implícita sin paréntesis explícitos, la multiplicación se interpreta convencionalmente como de mayor precedencia que la división, de modo que, por ejemplo, 1 / 2 n se interpreta como 1 / (2 · n ) en lugar de (1 / 2) · n . [ 2 ] [ 11 ] [ 15 ] [ 16 ] Por ejemplo, las instrucciones de envío de manuscritos para las revistas Physical Review establecen directamente que la multiplicación tiene precedencia sobre la división, [ 17 ] y esta es también la convención observada en libros de texto de física como el Curso de Física Teórica de Landau y Lifshitz [ c ] y libros de texto de matemáticas como Matemáticas Concretas de Graham , Knuth y Patashnik . [ 18 ] Sin embargo, algunos autores desaconsejan expresiones como a / bc , prefiriendo el uso explícito de paréntesis a / ( bc ) . [ 3 ]

Los casos más complejos son más ambiguos. Por ejemplo, la notación 1 / 2 π ( a + b ) podría significar plausiblemente 1 / [2 π · ( a + b )] o [1 / (2 π )] · ( a + b ) . [ 19 ] A veces, la interpretación depende del contexto. Las instrucciones de envío de Physical Review desaconsejan las expresiones de la forma a / b / c ; las expresiones más explícitas ( a / b ) / c o a / ( b / c ) no son ambiguas. [ 17 ]

6÷2(1+2) se interpreta como 6÷(2×(1+2)) por una fx-82MS (arriba) y (6÷2)×(1+2) por una calculadora TI-83 Plus (abajo), respectivamente.

Esta ambigüedad ha sido objeto de memes de Internet como " 8 ÷ 2(2 + 2) ", para el cual existen dos interpretaciones contradictorias: 8 ÷ [2 · (2 ​​+ 2)] = 1 y (8 ÷ 2) · (2 ​​+ 2) = 16. [ 16 ] [ 20 ] El investigador en educación matemática Hung-Hsi Wu señala que "uno nunca obtiene un cálculo de este tipo en la vida real" y llama a tales ejemplos artificiales "una especie de juego de salón de ¡Gotcha! diseñado para atrapar a una persona desprevenida al formularlo en términos de un conjunto de reglas irrazonablemente complicadas". [ 13 ]

exponenciación en serie

Si la exponenciación se indica mediante símbolos apilados usando notación de superíndice, la regla habitual es trabajar de arriba hacia abajo: [ 2 ] [ 7 ]

a b c = a ( b c ) ,

que normalmente no es igual a ( a b ) c . Esta convención es útil porque existe una propiedad de la exponenciación que hace que ( a b ) c = a bc , por lo que no es necesario utilizar la exponenciación en serie para esto.

Sin embargo, cuando la exponenciación se representa mediante un símbolo explícito como el acento circunflejo (^) o la flecha (↑), no existe un estándar común. Por ejemplo, Microsoft Excel y el lenguaje de programación MATLAB la evalúan como ( a b ) c , mientras que Google Search y Wolfram Alpha la evalúan como a ( b c ) . Así, se evalúa como 4096 en el primer caso y como 262 144 en el segundo.a^b^c4^3^2

Mnemotécnica

Significado de los acrónimos PEMDAS y BODMAS

Los acrónimos mnemotécnicos se enseñan a menudo en las escuelas primarias para ayudar a los estudiantes a recordar el orden de las operaciones. [ 21 ] [ 22 ] El acrónimo PEMDAS , que significa Paréntesis , Exponentes , Multiplicación / División , Suma / Resta , [ 23 ] es común en los Estados Unidos [ 24 ] y Francia. [ 25 ] A veces las letras se expanden en palabras de una oración mnemotécnica como "Por favor, disculpe a mi querida tía Sally". [ 26 ] El Reino Unido y otros países de la Commonwealth pueden usar BODMAS (o a veces BOMDAS ), que significa Corchetes , De , División / Multiplicación, Suma / Resta , donde "de" significa multiplicación de fracciones. [ 27 ] [ 28 ] A veces, la O se expande como Orden , que significa exponente o raíz, [ 28 ] [ 29 ] o se reemplaza por I para Índices en el mnemotécnico alternativo BIDMAS . [ 28 ] [ 30 ] En Canadá y Nueva Zelanda, BEDMAS es común. [ 31 ]

Estas mnemotecnias pueden ser engañosas cuando se escriben de esta manera. [ 26 ] Por ejemplo, interpretar erróneamente cualquiera de las reglas anteriores como "primero la suma, después la resta" evaluaría incorrectamente la expresión [ 26 ]a−b+do{\displaystyle a-b+c}comoa−(b+do){\displaystyle a-(b+c)}, mientras que la evaluación correcta es(a−b)+do{\displaystyle (a-b)+c}Estos valores son diferentes cuandodo≠0{\displaystyle c\neq 0}.

En Alemania, la convención se enseña simplemente como Punktrechnung vor Strichrechnung , «operaciones con puntos antes que con líneas», en referencia a las formas gráficas de los símbolos ·  (multiplicación), ∶  (división), +  (suma) y −  (resta). Esto evita el posible malentendido mencionado anteriormente.

Los acrónimos mnemotécnicos han sido criticados por no desarrollar una comprensión conceptual del orden de las operaciones y no abordar las preguntas de los estudiantes sobre su propósito o flexibilidad. [ 32 ] [ 33 ] Los estudiantes que aprenden el orden de las operaciones a través de acrónimos mnemotécnicos cometen errores de forma rutinaria, [ 34 ] al igual que algunos futuros docentes. [ 35 ] Incluso cuando los estudiantes aprenden correctamente el acrónimo, un enfoque desproporcionado en la memorización de trivialidades desplaza el contenido matemático sustantivo. [ 13 ] La aplicación procedimental del acrónimo no coincide con la comprensión intuitiva de la notación matemática por parte de los expertos: la notación matemática indica agrupaciones de formas distintas a los paréntesis o corchetes y una expresión matemática es una jerarquía similar a un árbol en lugar de una estructura linealmente "ordenada"; Además, no existe un único orden para simplificar o evaluar expresiones matemáticas, ni una simplificación canónica universal para ninguna expresión en particular; los expertos aplican con fluidez transformaciones y sustituciones válidas en el orden que les resulte conveniente, por lo que aprender un procedimiento rígido puede llevar a los estudiantes a una comprensión errónea y limitante de la notación matemática. [ 36 ]

Calculadoras

Las distintas calculadoras siguen distintos órdenes de operación. [ 2 ] Muchas calculadoras sencillas sin pila implementan la entrada en cadena , trabajando en orden de pulsación de botones sin dar prioridad a las distintas operaciones, lo que da un resultado distinto al de las calculadoras más sofisticadas. Por ejemplo, en una calculadora sencilla, escribir 1 + 2 × 3 =produce 9, mientras que una calculadora más sofisticada utilizará una prioridad más estándar, por lo que escribir 1 + 2 × 3 =producirá 7.

Las calculadoras pueden asociar exponentes a la izquierda o a la derecha. Por ejemplo, la expresión se interpreta como a ( b c ) en la TI-92 y la TI-30XS MultiView en "modo Mathprint", mientras que se interpreta como ( a b ) c en la TI-30XII y la TI-30XS MultiView en "modo clásico".a^b^c

Una expresión como se interpreta como 1/(2 x ) por la TI-82 , [ 3 ] así como por muchas calculadoras Casio modernas [ 37 ] (configurable en algunas como la fx-9750GIII ), pero como (1/2) x por la TI-83 y todas las demás calculadoras TI lanzadas desde 1996, [ 38 ] [ 3 ] así como por todas las calculadoras Hewlett-Packard con notación algebraica. Si bien la primera interpretación puede ser esperada por algunos usuarios debido a la naturaleza de la multiplicación implícita , [ 39 ] la segunda está más en línea con la regla de que la multiplicación y la división tienen igual precedencia. [ 3 ]1/2x

Cuando el usuario no está seguro de cómo una calculadora interpretará una expresión, se pueden usar paréntesis para eliminar la ambigüedad. [ 3 ]

El orden de las operaciones surgió debido a la adaptación de la notación infija en la notación matemática estándar , que puede ser notacionalmente ambigua sin tales convenciones, a diferencia de la notación postfija o prefija , que no necesitan órdenes de operaciones. [ 40 ] [ 41 ] Por lo tanto, las calculadoras que utilizan la notación polaca inversa (RPN) usando una pila para ingresar expresiones en el orden de precedencia correcto no necesitan paréntesis ni ningún orden de ejecución específico del modelo. [ 26 ] [ 23 ]

Lenguajes de programación

La mayoría de los lenguajes de programación utilizan niveles de precedencia que se ajustan al orden comúnmente utilizado en matemáticas, [ 42 ] aunque otros, como APL y Smalltalk , no tienen reglas de precedencia de operadores (en APL, la evaluación es estrictamente de derecha a izquierda; en Smalltalk, es estrictamente de izquierda a derecha).

Además, debido a que muchos operadores no son asociativos, el orden dentro de cualquier nivel se define generalmente agrupando de izquierda a derecha, de modo que 16/4/4se interpreta como (16/4)/4 = 1 en lugar de 16/(4/4) = 16 ; dichos operadores se denominan "asociativos por la izquierda". Existen excepciones; por ejemplo, los lenguajes con operadores que corresponden a la operación cons en listas generalmente los agrupan de derecha a izquierda ("asociativos por la derecha"), por ejemplo, en Haskell .1:2:3:4:[] == 1:(2:(3:(4:[]))) == [1,2,3,4]

Dennis Ritchie , creador del lenguaje C , comentó sobre la precedencia en C (compartida por lenguajes de programación que toman prestadas esas reglas de C, por ejemplo, C++ , Perl y PHP ) que hubiera sido preferible colocar los operadores bit a bit por encima de los operadores de comparación . [ 43 ] Muchos programadores se han acostumbrado a este orden, pero lenguajes populares más recientes como Python [ 44 ] y Ruby [ 45 ] invierten este orden. Los niveles de precedencia relativa de los operadores que se encuentran en muchos lenguajes de estilo C son los siguientes:

Gramática formal simplificada para expresiones aritméticas en un lenguaje de programación (izquierda) , [ 46 ] y derivación de la expresión de ejemplo (a+b)^2/2(derecha) . Esta última corresponde a una estructura jerárquica (" árbol sintáctico ") que es única para la expresión dada. El compilador genera código máquina a partir del árbol de tal manera que las operaciones que se originan en el nivel jerárquico más bajo se ejecutan primero.

Ejemplos:

  • !A + !Bse interpreta como(!A) + (!B)
  • ++A + !Bse interpreta como(++A) + (!B)
  • A + B * Cse interpreta comoA + (B * C)
  • A || B && Cse interpreta comoA || (B && C)
  • A && B == Cse interpreta comoA && (B == C)
  • A & B == Cse interpreta comoA & (B == C)

(En Python y Ruby A & B == Cse interpreta como (A & B) == C.)

Los compiladores de código fuente a código fuente que compilan para múltiples lenguajes deben abordar explícitamente el problema de los diferentes órdenes de operaciones entre lenguajes. Haxe , por ejemplo, estandariza el orden y lo impone insertando corchetes donde corresponde.

Se ha descubierto que la precisión del conocimiento de los desarrolladores de software sobre la precedencia de los operadores binarios guarda una estrecha relación con su frecuencia de aparición en el código fuente. [ 47 ]

Historia

El orden de las operaciones surgió progresivamente a lo largo de los siglos. La regla de que la multiplicación tiene precedencia sobre la suma se incorporó al desarrollo de la notación algebraica en el siglo XVII, ya que la propiedad distributiva implica esta jerarquía natural. Aún en la década de 1920, el historiador de las matemáticas Florian Cajori identifica desacuerdos sobre si la multiplicación debería tener precedencia sobre la división, o si deberían tratarse por igual. El término "orden de las operaciones" y las mnemotecnias "PEMDAS/BEDMAS" se formalizaron a finales del siglo XIX o principios del XX, a medida que crecía la demanda de libros de texto estandarizados. La ambigüedad sobre cuestiones como si la multiplicación implícita tiene precedencia sobre la multiplicación y la división explícitas en expresiones como a /2 b , que podría interpretarse como a /(2 b ) o ( a /2)  × b , implica que las convenciones aún no son completamente estables. [ 48 ] [ 49 ] 

Véase también

Notas

  1. 1 2 Algunos autores evitan deliberadamente cualquier omisión de paréntesis con funciones incluso en el caso de una sola variable numérica o argumentos constantes (es decir, Oldham en Atlas ), mientras que otros autores (como NIST ) aplican esta simplificación de notación solo condicionalmente junto con nombres de funciones multicaracteres específicos (comosin), pero no la usan con nombres de funciones genéricos (comof).
  2. ↑ Para evitar cualquier ambigüedad, esta simplificación notacional para monomios se evita deliberadamente en obras como el Atlas de funciones de Oldham o el Manual de funciones matemáticas del NIST .
  3. ↑ Por ejemplo, la tercera edición de Mecánica de Landau y Lifshitz contiene expresiones como hP z /2 π (pág. 22), y el primer volumen de las Lecciones de Feynman contiene expresiones como 1/2 √ N (págs. 6-7) . En ambos libros, estas expresiones están escritas con la convención de que la línea oblicua se evalúa al final.

Referencias

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  2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Bronstein, Ilja Nikolaevič ; Semendjajew, Konstantin Adolfovič (1987) [1945]. "2.4.1.1. Definición arithmetischer Ausdrücke" [ Definición de expresiones aritméticas ] . En Grosche, Günter; Ziegler, Víktor; Ziegler, Dorothea (eds.). Taschenbuch der Mathematik [ Libro de bolsillo de matemáticas ] (en alemán). vol. 1. Traducido por Ziegler, Viktor (23ª ed.). Thun, Suiza: Harri Deutsch . págs. 115 a 120, 802. ISBN    3-87144-492-8. Regel 7: Ist F ( A ) Teilzeichenreihe eines arithmetischen Ausdrucks oder einer seiner Abkürzungen und F eine Funktionenkonstante und A eine Zahlenvariable oder Zahlenkonstante, so darf F A dafür geschrieben werden. [Darüber hinaus ist noch die Abkürzung F n ( A ) für ( F ( A )) n üblich. Dabei kann F sowohl Funktionenkonstante als auch Funktionenvariable sein.]
  3. 1 2 3 4 5 6 Peterson, Dave (septiembre-octubre de 2019). The Math Doctors (blog). Orden de las operaciones: "¿Por qué?" ; "¿Por qué estas reglas?" ; "Distinciones sutiles" ; "Fracciones, evaluación y simplificación" ; "¿Multiplicación implícita?" ; "Advertencias históricas" . Recuperado el 11 de febrero de 2024. Peterson, Dave (agosto-septiembre de 2023). The Math Doctors (blog). Multiplicación implícita: "No es tan malo como crees" ; "¿Existe un estándar?" ; "No puedes demostrarlo" . Recuperado el 11 de febrero de 2024.
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  11. 1 2 Chrystal, George (1904) [1886]. Álgebra . Vol. 1 (5.ª ed.). "División", Cap. 1 §§19–26 , págs. 14–20.   
    El libro de Chrystal fue la fuente de referencia en inglés sobre el álgebra en la escuela secundaria a principios del siglo XX, y probablemente la fuente de muchas descripciones posteriores del orden de las operaciones. Sin embargo, si bien el libro de Chrystal establece inicialmente una regla rígida para evaluar expresiones que involucran los símbolos '÷' y '×', posteriormente otorga sistemáticamente mayor precedencia a la multiplicación implícita que a la división al escribir fracciones en línea, sin discutir explícitamente la discrepancia entre la regla formal y la práctica común.
  12. ↑ Cajori, Florian (1928). Historia de las notaciones matemáticas . Vol. 1. La Salle, Illinois: Open Court. §242. "Orden de las operaciones en términos que contienen tanto ÷ como ×" , pág. 274.  
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  14. ↑ En la norma ISO 80000 , el símbolo de división '÷' está totalmente prohibido y se sustituye por el símbolo de barra inclinada:
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  15. ↑ Lennes, NJ (1917). "Discusiones: Relacionadas con el orden de las operaciones en álgebra" . The American Mathematical Monthly . 24 (2): 93– 95. doi : 10.2307/2972726 . JSTOR 2972726 . 
  16. 1 2 Strogatz, Steven (2 de agosto de 2019). "La ecuación matemática que intentó desconcertar a Internet" . The New York Times . Recuperado el 12 de febrero de 2024 .En este artículo, Strogatz describe el orden de las operaciones tal como se enseña en la escuela secundaria. Sin embargo, en un comentario , señala:
    Varios comentaristas parecen estar utilizando una convención diferente (y más sofisticada) que la convención PEMDAS elemental que describí en el artículo. En esta convención más sofisticada, que se usa frecuentemente en álgebra, la multiplicación implícita (también conocida como multiplicación por yuxtaposición) tiene mayor prioridad que la multiplicación explícita o la división explícita (en la que se escriben explícitamente operadores como × * / o ÷). Según esta convención más sofisticada, la multiplicación implícita en 2(2 + 2) tiene mayor prioridad que la división explícita implícita en el uso de ÷. Es una convención muy razonable, y estoy de acuerdo en que la respuesta es 1 si usamos esta convención sofisticada.
    "Pero esa convención no es universal. Por ejemplo, las calculadoras integradas en Google y WolframAlpha utilizan la convención menos sofisticada que describí en el artículo; no distinguen entre multiplicación implícita y explícita cuando se les pide que evalúen expresiones aritméticas simples. [...]"
  17. 1 2 "Guía de estilo y notación de la revisión física" (PDF) . Sociedad Estadounidense de Física . 2012. § IV.E.2.e. Recuperado el 5 de agosto de 2012 .
  18. ↑ Graham, Ronald L.; Knuth , Donald E .; Patashnik, Oren (1994). Matemáticas concretas (2.ª ed.). Reading, Mass: Addison-Wesley. «Una nota sobre la notación», pág. xi. ISBN   0-201-55802-5. MR 1397498 . Una expresión de la forma a / bc significa lo mismo que a /( bc ) . Además, log x /log y = (log x )/(log y ) y 2 n ! = 2( n !) . 
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Lecturas adicionales

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