Grupo de monstruos bebés

En el área del álgebra moderna conocida como teoría de grupos , el grupo monstruo bebé B (o, más simplemente, el monstruo bebé ) es un grupo simple esporádico de orden

   4 154 781 481 226 426 191 177 580 544 000 000

= 2 ⁴¹ · 3 ¹³ · 5 ⁶ · 7 ² · 11 · 13 · 17 · 19 · 23 · 31 · 47          

= 20! · 6! ² · 4! · 2 ¹² · 23 · 31 · 47      

≈ 4 × 10³³ .

B es uno de los 26 grupos esporádicos y tiene el segundo orden más alto de estos, siendo el orden más alto el del grupo monstruo . La doble cubierta del monstruo bebé es el centralizador de un elemento de orden 2 en el grupo monstruo. El grupo de automorfismos externos de B es trivial y el multiplicador de Schur de B tiene orden 2.

La existencia de este grupo fue sugerida por Bernd Fischer en un trabajo inédito de principios de la década de 1970 durante su investigación de los grupos de transposición {3,4}: grupos generados por una clase de transposiciones tales que el producto de dos elementos cualesquiera tiene orden como máximo 4. Investigó sus propiedades y calculó su tabla de caracteres . La primera construcción del monstruo bebé fue realizada posteriormente como un grupo de permutación en 13.571.955.000 puntos utilizando una computadora por Jeffrey Leon y Charles Sims . ^{[ 1 ] [ 2 ]} Robert Griess encontró más tarde una construcción sin computadora utilizando el hecho de que su doble cubierta está contenida en el grupo monstruo. El nombre "monstruo bebé" fue sugerido por John Horton Conway . ^{[ 3 ]}

En característica 0, la representación de 4371 dimensiones del monstruo bebé no tiene una estructura de álgebra invariante no trivial análoga al álgebra de Griess , pero Ryba (2007) demostró que sí tiene dicha estructura de álgebra invariante si se reduce módulo 2.

La representación matricial fiel más pequeña del Bebé Monstruo tiene un tamaño de 4370 sobre el campo finito de orden 2.

Höhn (1996) construyó un álgebra de operadores de vértice sobre la que actúa el monstruo bebé.

Conway y Norton sugirieron en su artículo de 1979 que el fenómeno de la luz de luna monstruosa no se limita al monstruo, sino que se pueden encontrar fenómenos similares para otros grupos. Posteriormente, Larissa Queen y otros descubrieron que se pueden construir las expansiones de muchos Hauptmoduln a partir de combinaciones simples de dimensiones de grupos esporádicos. Para el monstruo bebé B o F ₂ , la serie de McKay-Thompson relevante es${\displaystyle T_{2A}(\tau )}$donde se puede establecer el término constante a(0) = 104 . ^{[ 4 ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}j_{2A}(\tau )&=T_{2A}(\tau )+104\\&=\left(\left({\tfrac {\eta (\tau )}{\eta (2\tau )}}\right)^{12}+2^{6}\left({\tfrac {\eta (2\tau )}{\eta (\tau )}}\right)^{12}\right)^{2}\\&={\frac {1}{q}}+104+4372q+96256q^{2}+1240002q^{3}+10698752q^{4}+\cdots \end{aligned}}}$

y η ( τ ) es la función eta de Dedekind .

Wilson (1999) encontró las 30 clases de conjugación de subgrupos máximos de B que se enumeran en la tabla a continuación.

• Gorenstein, D. (1993), «Una breve historia de los grupos simples esporádicos» , en Corwin, L.; Gelfand, I.M.; Lepowsky, James (eds.), The Gelʹfand Mathematical Seminars, 1990–1992 , Boston, MA: Birkhäuser Boston, pp. 137–143 , ISBN  978-0-8176-3689-0, MR 1247286 
• Höhn, Gerald (1996), Selbstduale Vertexoperatorsuperalgebren und das Babymonster , Bonner Mathematische Schriften [Publicaciones matemáticas de Bonn], 286, Bonn: Universität Bonn Mathematisches Institut, arXiv : 0706.0236 , Bibcode : 2007arXiv0706.0236H , Señor 1614941 
• Ryba, Alexander JE (2007), "Un álgebra invariante natural para el grupo Baby Monster", Journal of Group Theory , 10 (1): 55– 69, doi : 10.1515/JGT.2007.006 , MR 2288459 , S2CID 122359097  
• Wilson, Robert A. (1999), "Los subgrupos maximales del Baby Monster. I", Journal of Algebra , 211 (1): 1– 14, doi : 10.1006/jabr.1998.7601 , MR 1656568 

• MathWorld: Grupo de monstruos bebés
• Atlas de representaciones de grupos finitos: Grupo de monstruos bebés