matemáticas babilónicas

Los babilonios usaban tablas precalculadas para ayudar con la aritmética , incluyendo tablas de multiplicar , tablas de recíprocos y tablas de cuadrados (o, usando la misma tabla de forma inversa, tablas de raíces cuadradas ). Sus tablas de multiplicar no eran las${\displaystyle 60\times 60}$tablas que uno podría esperar por analogía con las tablas de multiplicar decimales. En cambio, solo conservaban tablas para la multiplicación por ciertos "números principales" (los números regulares y el 7). Para calcular otros productos, dividían uno de los números a multiplicar en una suma de números principales. ^{[ 10 ]}

Aunque muchas tablillas babilónicas registran ejercicios de multiplicación de varios dígitos, estos suelen saltar directamente de los números que se multiplican a su producto, sin mostrar valores intermedios. Basándose en esto, y en ciertos patrones de errores en algunas de estas tablillas, Jens Høyrup ha sugerido que la multiplicación larga se realizaba de tal manera que cada paso del cálculo borraba el registro de los pasos anteriores, como ocurriría al usar un ábaco o una tabla de conteo y no ocurriría con la multiplicación larga escrita. ^{[ 10 ]} Una rara excepción, "la única de su tipo conocida", es la tablilla babilónica tardía / seléucida BM 34601, que se ha reconstruido como un cálculo del cuadrado de un número sexagesimal de 13 dígitos (el número${\displaystyle 5\cdot 3^{25}}$) utilizando una "columna inclinada de productos parciales" que se asemeja a la multiplicación larga moderna. ^{[ 11 ]}

Los babilonios no tenían un algoritmo para la división larga . ^{[ 12 ]} En cambio, basaron su método en el hecho de que:

${\displaystyle {\frac {a}{b}}=a\times {\frac {1}{b}}}$

junto con una tabla de recíprocos . Los números cuyos únicos factores primos son 2, 3 o 5 (conocidos como números regulares o 5- suaves ) tienen recíprocos finitos en notación sexagesimal, y se han encontrado tablas con extensas listas de estos recíprocos.

Los recíprocos como 1/7, 1/11, 1/13, etc., no tienen representaciones finitas en notación sexagesimal. Para calcular 1/13 o dividir un número entre 13, los babilonios utilizaban una aproximación como la siguiente:

${\displaystyle {\frac {1}{13}}={\frac {7}{91}}=7\times {\frac {1}{91}}\approx 7\times {\frac {1}{90}}=7\times {\frac {40}{3600}}={\frac {280}{3600}}={\frac {4}{60}}+{\frac {40}{3600}}.}$

La tablilla de arcilla babilónica YBC 7289 ( c. 1800–1600 a. C. ) da una aproximación de la raíz cuadrada de 2 en cuatro cifras sexagesimales , 𒐕 𒌋𒌋𒐼 𒐐𒐕 𒌋 = 1;24,51,10, ^{[ 13 ]} que es precisa hasta aproximadamente seis dígitos decimales , ^{[ 14 ]} y es la representación sexagesimal de tres lugares más cercana posible de √ 2 :

${\displaystyle 1+{\frac {24}{60}}+{\frac {51}{60^{2}}}+{\frac {10}{60^{3}}}={\frac {305470}{216000}}=1.41421{\overline {296}}.}$

Además de los cálculos aritméticos, los matemáticos babilonios también desarrollaron métodos algebraicos para resolver ecuaciones . Una vez más, estos se basaban en tablas precalculadas.

Para resolver una ecuación cuadrática , los babilonios utilizaban esencialmente la fórmula cuadrática estándar . Consideraban ecuaciones cuadráticas de la forma:

${\displaystyle \ x^{2}+bx=c}$

donde b y c no eran necesariamente enteros, pero c siempre era positivo. Sabían que una solución a esta forma de ecuación es: ^{[ 15 ]}

${\displaystyle x=-{\frac {b}{2}}+{\sqrt {\left({\frac {b}{2}}\right)^{2}+c}}}$

y hallaron raíces cuadradas de manera eficiente usando división y promedio. ^{[ 16 ]} Los problemas de este tipo incluían hallar las dimensiones de un rectángulo dada su área y la cantidad en que la longitud excede el ancho.

Se utilizaron tablas de valores de n ³  + n ^{2 para resolver ciertas} ecuaciones cúbicas . Por ejemplo, considérese la ecuación: 

${\displaystyle \ ax^{3}+bx^{2}=c.}$

Multiplicando la ecuación por a² y dividiendo por b³ ^{se obtiene} :

${\displaystyle \left({\frac {ax}{b}}\right)^{3}+\left({\frac {ax}{b}}\right)^{2}={\frac {ca^{2}}{b^{3}}}.}$

Sustituyendo y = ax / b obtenemos:

${\displaystyle y^{3}+y^{2}={\frac {ca^{2}}{b^{3}}}}$

^{Esto se} podía resolver consultando la tabla n³ ⁺ n² para encontrar el valor más cercano al lado derecho. Los babilonios lo lograron sin notación algebraica, demostrando una notable profundidad de comprensión. Sin embargo, no contaban con un método para resolver la ecuación cúbica general  . 

Los babilonios modelaron el crecimiento exponencial, el crecimiento restringido (mediante una forma de funciones sigmoides ) y el tiempo de duplicación , este último en el contexto de los intereses de los préstamos.

Las tablillas de arcilla de alrededor del año 2000 a. C. incluyen el ejercicio "Dado un tipo de interés de 1/60 al mes (sin capitalización), calcule el tiempo de duplicación". Esto da como resultado un tipo de interés anual de 12/60 = 20 %, y por lo tanto, un tiempo de duplicación de 100 % de crecimiento / 20 % de crecimiento anual = 5 años. ^{[ 17 ] [ 18 ]}

La tablilla Plimpton 322 contiene una lista de " ternas pitagóricas ", es decir, números enteros.${\displaystyle (a,b,c)}$de tal manera que${\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}}$Las ternas son demasiado numerosas y de un tamaño excesivo como para haber sido obtenidas por fuerza bruta.

Mucho se ha escrito sobre el tema, incluyendo algunas especulaciones (quizás anacrónicas) sobre si la tablilla pudo haber servido como una tabla trigonométrica primitiva. Es necesario tener cuidado al interpretar la tablilla en función de los métodos conocidos o accesibles para los escribas de la época.

[...] la pregunta "¿cómo se calculó la tablilla?" no tiene por qué tener la misma respuesta que la pregunta "¿qué problemas plantea la tablilla?". La primera puede responderse de forma más satisfactoria mediante pares recíprocos, como se sugirió por primera vez hace medio siglo, y la segunda mediante algún tipo de problemas de triángulos rectángulos. ^{[ 19 ]}

Los babilonios conocían las reglas comunes para medir volúmenes y áreas. Mediban la circunferencia de un círculo como tres veces el diámetro y el área como un doceavo del cuadrado de la circunferencia, lo cual sería correcto si se estima que π es 3. Eran conscientes de que esto era una aproximación, y una tablilla matemática paleobabilónica excavada cerca de Susa en 1936 (fechada entre los siglos XIX y XVII a. C.) proporciona una mejor aproximación de π como 25/8 = 3,125, aproximadamente un 0,5 por ciento por debajo del valor exacto. ^{[ 20 ]} El volumen de un cilindro se tomaba como el producto de la base y la altura; sin embargo, el volumen del tronco de un cono o de una pirámide cuadrada se tomaba incorrectamente como el producto de la altura y la mitad de la suma de las bases. Los babilonios también conocían el teorema de Pitágoras . ^{[ 21 ] [ 22 ] [ 23 ]}

La «milla babilónica» era una medida de distancia equivalente a unos 11,3  km (o unas siete millas modernas). Esta medida de distancia se convirtió posteriormente en una «milla de tiempo» utilizada para medir el recorrido del Sol y, por lo tanto, representar el tiempo. ^{[ 24 ]}

Los astrónomos babilonios llevaban registros detallados de la salida y puesta de las estrellas , el movimiento de los planetas y los eclipses solares y lunares , todo lo cual requería familiaridad con las distancias angulares medidas en la esfera celeste . ^{[ 25 ]}

También utilizaron una forma de análisis de Fourier para calcular una efeméride (tabla de posiciones astronómicas), que fue descubierta en la década de 1950 por Otto Neugebauer . ^{[ 26 ] [ 27 ] [ 28 ] [ 29 ]} Para realizar cálculos de los movimientos de los cuerpos celestes, los babilonios utilizaron aritmética básica y un sistema de coordenadas basado en la eclíptica , la parte de los cielos por donde viajan el sol y los planetas.

Las tablillas conservadas en el Museo Británico aportan pruebas de que los babilonios incluso tenían un concepto de objetos en un espacio matemático abstracto. Estas tablillas datan de entre el 350 y el 50 a. C., lo que revela que los babilonios comprendían y utilizaban la geometría incluso antes de lo que se creía. Los babilonios empleaban un método para estimar el área bajo una curva dibujando un trapecio debajo, una técnica que antes se creía originada en la Europa del siglo XIV. Este método de estimación les permitió, por ejemplo, calcular la distancia que Júpiter había recorrido en un determinado periodo de tiempo. ^{[ 30 ]}