La batalla de los sexos (teoría de juegos)

En teoría de juegos , la batalla de los sexos es un juego de coordinación para dos jugadores que también incluye elementos de conflicto. El juego fue presentado en 1957 por R. Duncan Luce y Howard Raiffa en su libro Juegos y decisiones . ^{[ 1 ]} Algunos autores prefieren no asignar sexos a los jugadores y en su lugar usan Jugadores 1 y 2, y otros se refieren al juego como Bach o Stravinsky , usando dos conciertos como los dos eventos. ^{[ 2 ]} La descripción del juego aquí sigue la historia original de Luce y Raiffa.

Imagina que un hombre y una mujer quieren encontrarse esta noche, pero tienen que elegir entre dos eventos: un combate de boxeo y un ballet . El hombre prefiere ir al combate. La mujer prefiere el ballet. Ambos prefieren ir al mismo evento que a eventos diferentes. Si no pueden comunicarse, ¿a dónde deberían ir?

La matriz de pagos titulada "Batalla de los sexos (1)" muestra los pagos cuando el hombre elige una fila y la mujer una columna. En cada celda, el primer número representa el pago del hombre y el segundo, el de la mujer.

Esta representación estándar no tiene en cuenta el daño adicional que podría resultar no solo de ir a lugares diferentes, sino también de ir al lugar equivocado (por ejemplo, el hombre va al ballet mientras la mujer va al combate de boxeo, sin que ninguno de los dos quede satisfecho). Para tener esto en cuenta, el juego se representaría como "Batalla de los Sexos (2)", donde en el recuadro superior derecho, cada jugador recibe una recompensa de 1 porque al menos logra asistir a sus eventos favoritos.

Este juego tiene dos equilibrios de Nash de estrategia pura , uno en el que ambos jugadores van al combate de boxeo y otro en el que ambos van al ballet. También existe un equilibrio de Nash de estrategia mixta , en el que los jugadores eligen al azar usando probabilidades específicas. Para las recompensas enumeradas en Battle of the Sexes (1), en el equilibrio de estrategia mixta el hombre va al combate de boxeo con una probabilidad de 3/5 y la mujer al ballet con una probabilidad de 3/5, por lo que terminan juntos en el combate de boxeo con una probabilidad de 6/25 = (3/5)(2/5) y juntos en el ballet con una probabilidad de 6/25 = (2/5)(3/5).

Esto plantea un caso interesante para la teoría de juegos, ya que cada uno de los equilibrios de Nash presenta alguna deficiencia. Los dos equilibrios de Nash de estrategia pura son injustos; un jugador siempre obtiene mejores resultados que el otro. El equilibrio de Nash de estrategia mixta es ineficiente: los jugadores se descoordinarán con una probabilidad de 13/25, lo que resultará en una ganancia esperada de 6/5 para cada uno (inferior a la ganancia de 2 que obtendrían en su equilibrio de estrategia pura menos favorable). Aún no está claro cómo se formarían las expectativas que llevarían a que se alcanzara un equilibrio en particular.

Una posible solución a la dificultad implica el uso de un equilibrio correlacionado . En su forma más simple, si los jugadores tienen acceso a un dispositivo aleatorio de uso común, podrían decidir correlacionar sus estrategias en función del resultado de dicho dispositivo. Por ejemplo, si pudieran lanzar una moneda antes de elegir sus estrategias, podrían acordar correlacionarlas según el resultado, eligiendo, por ejemplo, ballet si sale cara y boxeo si sale cruz. Cabe destacar que, una vez revelados los resultados, ninguno de los jugadores tiene incentivos para modificar sus acciones si cree que el otro no lo hará. De este modo, se logra una coordinación perfecta y, antes del lanzamiento de la moneda, las ganancias esperadas para ambos jugadores son exactamente iguales. Sin embargo, sigue siendo cierto que, incluso con la existencia de un dispositivo de correlación, persistirán los equilibrios de Nash en los que los jugadores lo ignoran; los equilibrios correlacionados requieren tanto la existencia de dicho dispositivo como la expectativa de que ambos jugadores lo utilicen para tomar su decisión.

• Fudenberg, D. y Tirole, J. (1991) Teoría de juegos , MIT Press. (véase el capítulo 1, sección 2.4)
• Kelsey, D.; le Roux, S. (2015). "Un estudio experimental sobre el efecto de la ambigüedad en un juego de coordinación". Theory and Decision . 79 (4): 667– 688. doi : 10.1007/s11238-015-9483-2 . hdl : 10871/16743 .

• GameTheory.net
• Solución cooperativa con función de Nash por Elmer G. Wiens