Método de Backus-Gilbert

En matemáticas, el método de Backus-Gilbert , también conocido como método de promedio óptimo localizado ( OLA ) , recibe su nombre de sus descubridores, los geofísicos George E. Backus y James Freeman Gilbert . Se trata de un método de regularización para obtener soluciones significativas a problemas inversos mal condicionados . Mientras que otros métodos de regularización, como el método de Tikhonov , buscan imponer restricciones de suavidad a la solución, el método de Backus-Gilbert busca imponer restricciones de estabilidad, de modo que la solución varíe lo menos posible si los datos de entrada se remuestrean varias veces. En la práctica, y en la medida en que lo justifiquen los datos, esto da como resultado una solución suave.

Dado un array de datos X , la inversa básica de Backus-Gilbert es:

${\displaystyle \mathbf {H} _{\theta }={\frac {\mathbf {C} ^{-1}\mathbf {G} _{\theta }}{\mathbf {G} _{\theta }^{T}\mathbf {C} ^{-1}\mathbf {G} _{\theta }}}}$

donde C es la matriz de covarianza de los datos y G _θ es una restricción a priori que representa la fuente θ para la cual se busca una solución. La regularización se implementa "blanqueando" la matriz de covarianza:

${\displaystyle \mathbf {C} '=\mathbf {C} +\lambda \mathbf {I} }$

con C ^′ reemplazando a C en la ecuación para H _θ . Entonces,

${\displaystyle \mathbf {H} _ {\theta }^{T}\mathbf {X} }$

es una estimación de la actividad de la fuente θ .

• Backus, GE y Gilbert, F. 1968, "El poder de resolución de los datos brutos de la Tierra", Geophysical Journal of the Royal Astronomical Society , vol. 16, pp.  169–205, DOI: 10.1111/j.1365-246X.1968.tb00216.x .
• Backus, GE y Gilbert, F. 1970, "Singularidad en la inversión de datos brutos de la Tierra inexactos", Philosophical Transactions of the Royal Society of London A , vol. 266, pp.  123–192.
• Press, WH; Teukolsky, SA; Vetterling, WT; Flannery, BP (2007). «Sección 19.6. Método Backus-Gilbert» . Numerical Recipes (3.ª  ed.). Cambridge University Press . ISBN 978-0-521-88068-8Archivado del original el 11 de agosto de 2011. Consultado el 17 de agosto de 2011 .