Conjunto Baire

Kunihiko Kodaira definió ^{[ 1 ]} lo que llamamos conjuntos de Baire (aunque él los llama confusamente "conjuntos de Borel") de ciertos espacios topológicos como los conjuntos cuya función característica es una función de Baire (la clase más pequeña de funciones que contiene todas las funciones continuas de valor real y cerradas bajo límites puntuales de sucesiones). Dudley (1989 , Sec. 7.1) da una definición equivalente y define los conjuntos de Baire de un espacio topológico como elementos del σ-álgebra más pequeña tal que todas las funciones continuas de valor real son medibles. Para espacios de Hausdorff σ-compactos localmente compactos, esto es equivalente a las siguientes definiciones, pero en general las definiciones no son equivalentes.

Por el contrario, las funciones de Baire son precisamente las funciones de valor real que son medibles en el sentido de Baire. Para espacios métricos, los conjuntos de Baire coinciden con los conjuntos de Borel. ^{[ 2 ]}

Halmos (1950 , página 220) definió los conjuntos de Baire de un espacio de Hausdorff localmente compacto como los elementos del anillo σ generado por los conjuntos Gδ compactos _. Esta definición ya no se usa mucho, dado que los anillos σ están algo pasados ​​de moda. Cuando el espacio es σ-compacto, esta definición es equivalente a la siguiente.

Una razón para trabajar con conjuntos G _δ compactos en lugar de conjuntos G _δ cerrados es que las medidas de Baire son entonces automáticamente regulares ( Halmos 1950 , teorema G página 228) .

La tercera definición, y la más utilizada, es similar a la de Halmos, modificada de manera que los conjuntos de Baire formen un σ-álgebra en lugar de simplemente un σ-anillo.

Un subconjunto de un espacio topológico de Hausdorff localmente compacto se denomina conjunto de Baire si pertenece al álgebra σ más pequeña que contiene todos los conjuntos G _δ compactos . En otras palabras, el álgebra σ de los conjuntos de Baire es el álgebra σ generada por todas las intersecciones de un número numerable de conjuntos abiertos que dan como resultado un conjunto compacto. Alternativamente, los conjuntos de Baire forman el álgebra σ más pequeña tal que todas las funciones continuas de soporte compacto son medibles (al menos en espacios de Hausdorff localmente compactos; en espacios topológicos generales, estas dos condiciones no tienen por qué ser equivalentes).

Para espacios σ-compactos, esto es equivalente a la definición de Halmos. Para espacios que no son σ-compactos, los conjuntos de Baire bajo esta definición son los de la definición de Halmos junto con sus complementos. Sin embargo, en este caso, ya no es cierto que una medida de Baire finita sea necesariamente regular: por ejemplo, la medida de probabilidad de Baire que asigna medida 0 a cada subconjunto numerable de un espacio discreto no numerable y medida 1 a cada subconjunto co-contable es una medida de probabilidad de Baire que no es regular.

Para espacios topológicos de Hausdorff localmente compactos que no son σ-compactos, las tres definiciones anteriores no tienen por qué ser equivalentes.

Un espacio topológico discreto es localmente compacto y de Hausdorff. Cualquier función definida en un espacio discreto es continua y, por lo tanto, según la primera definición, todos los subconjuntos de un espacio discreto son conjuntos de Baire. Sin embargo, dado que los subespacios compactos de un espacio discreto son precisamente los subespacios finitos, los conjuntos de Baire, según la segunda definición, son precisamente los conjuntos a lo sumo numerables , mientras que, según la tercera definición, los conjuntos de Baire son los conjuntos a lo sumo numerables y sus complementos. Por consiguiente, las tres definiciones no son equivalentes en un espacio discreto no numerable.

_{Para espacios que no son de Hausdorff ,} las definiciones de conjuntos de Baire en términos de funciones continuas no tienen por qué ser equivalentes a las definiciones que involucran conjuntos compactos Gδ . Por ejemplo, si X es un conjunto infinito numerable cuyos conjuntos cerrados son los conjuntos finitos y todo el espacio, entonces las únicas funciones reales continuas en X son constantes, pero todos los subconjuntos de X pertenecen al álgebra σ generada por conjuntos cerrados compactos Gδ _.

En un producto cartesiano de una cantidad incontable de espacios de Hausdorff compactos con más de un punto, un punto nunca es un conjunto de Baire, a pesar de ser cerrado y, por lo tanto, un conjunto de Borel. ^{[ 3 ]}