Mapa de Baker

En la teoría de sistemas dinámicos , el mapa del panadero es un mapa caótico del cuadrado unitario en sí mismo. Recibe su nombre de una operación de amasado que los panaderos aplican a la masa: la masa se corta por la mitad, las dos mitades se apilan una encima de la otra y se comprimen.

El mapa del panadero puede entenderse como el operador de desplazamiento bilateral de un modelo de red bi-infinita de dos estados . El mapa del panadero es topológicamente conjugado al mapa de herradura . En física , una cadena de mapas del panadero acoplados puede utilizarse para modelar la difusión determinista .

Como ocurre con muchos sistemas dinámicos deterministas , el mapa del panadero se estudia mediante su acción sobre el espacio de funciones definidas en el cuadrado unitario. El mapa del panadero define un operador sobre dicho espacio, conocido como operador de transferencia . Este mapa constituye un modelo de caos determinista con solución exacta , ya que las autofunciones y los autovalores del operador de transferencia pueden determinarse explícitamente.

Existen dos definiciones alternativas del mapa del panadero que se utilizan comúnmente. Una definición pliega o rota una de las mitades cortadas antes de unirlas (similar al mapa de herradura ) y la otra no.

El mapa del panadero plegado actúa sobre el cuadrado unitario como

${\displaystyle S_{\text{baker-folded}}(x,y)={\begin{cases}(2x,{\frac {y}{2}})&{\text{para }}0\leq x<{\frac {1}{2}}\\(2-2x,1-{\frac {y}{2}})&{\text{para }}{\frac {1}{2}}\leq x<1.\end{cases}}}$

Cuando la sección superior no está doblada, el mapa puede escribirse como

${\displaystyle S_{\text{baker-unfolded}}(x,y)=\left(2x-\left\lfloor 2x\right\rfloor ,\ {\frac {y+\left\lfloor 2x\right\rfloor }{2}}\right).}$

El mapa plegado del panadero es un análogo bidimensional del mapa de la tienda de campaña.

${\displaystyle S_{\mathrm {tent} }(x)={\begin{cases}2x&{\text{para }}0\leq x<{\frac {1}{2}}\\2(1-x)&{\text{para }}{\frac {1}{2}}\leq x<1\end{cases}}}$

Mientras que el mapa desplegado es análogo al mapa de Bernoulli . Ambos mapas son topológicamente conjugados. El mapa de Bernoulli puede entenderse como el mapa que progresivamente elimina dígitos de la expansión diádica de x . A diferencia del mapa de la tienda, el mapa del panadero es invertible.

El mapa del panadero conserva la medida de Lebesgue bidimensional .

El mapa es de mezcla fuerte y es topológicamente de mezcla .

El operador de transferencia${\displaystyle U}$mapea funciones en el cuadrado unitario a otras funciones en el cuadrado unitario; está dado por

${\displaystyle \left[Uf\right](x,y)=(f\circ S^{-1})(x,y).}$

El operador de transferencia es unitario en el espacio de Hilbert de funciones de cuadrado integrable en el cuadrado unitario. El espectro es continuo y, debido a que el operador es unitario, los autovalores se encuentran en el círculo unitario. El operador de transferencia no es unitario en el espacio${\displaystyle {\mathcal {P}}_{x}\otimes L_{y}^{2}}$de funciones polinómicas en la primera coordenada e integrables al cuadrado en la segunda. En este espacio, tiene un espectro discreto, no unitario y decreciente.

El mapa del panadero puede entenderse como el operador de desplazamiento bilateral en la dinámica simbólica de una red unidimensional. Consideremos, por ejemplo, la cadena bi-infinita.

${\displaystyle \sigma =\left(\ldots ,\sigma _{-2},\sigma _{-1},\sigma _{0},\sigma _{1},\sigma _{2},\ldots \right)}$

donde cada posición en la cadena puede tomar uno de los dos valores binarios.${\displaystyle \sigma _{k}\in \{0,1\}}$La acción del operador de desplazamiento sobre esta cadena es

${\displaystyle \tau (\ldots ,\sigma _{k},\sigma _{k+1},\sigma _{k+2},\ldots )=(\ldots ,\sigma _{k-1},\sigma _{k},\sigma _{k+1},\ldots )}$

Es decir, cada posición de la red se desplaza una posición a la izquierda. La cadena bi-infinita puede representarse mediante dos números reales.${\displaystyle 0\leq x,y\leq 1}$como

${\displaystyle x(\sigma )=\sum _{k=0}^{\infty }\sigma _{-k}2^{-(k+1)}}$

y

${\displaystyle y(\sigma )=\sum _{k=0}^{\infty }\sigma _{k+1}2^{-(k+1)}.}$

En esta representación, el operador de desplazamiento tiene la forma

${\displaystyle \tau (x,y)=\left(2x-\left\lfloor 2x\right\rfloor ,\ {\frac {y+\left\lfloor 2x\right\rfloor }{2}}\right)}$

que se puede apreciar como el mapa del panadero desplegado que se muestra arriba.

• proceso de Bernoulli

• Hiroshi H. Hasagawa y William C. Saphir (1992). "Unitaridad e irreversibilidad en sistemas caóticos". Physical Review A. 46 ( 12): 7401– 7423. Bibcode : 1992PhRvA..46.7401H . CiteSeerX 10.1.1.31.9775 . doi : 10.1103/PhysRevA.46.7401 . PMID 9908090 .  
• Ronald J. Fox, "Construcción de la base de Jordan para el mapa de Baker", Chaos , 7 pág. 254 (1997) doi : 10.1063/1.166226
• Dean J. Driebe, Mapas totalmente caóticos y simetría temporal rota , (1999) Kluwer Academic Publishers, Dordrecht, Países Bajos ISBN 0-7923-5564-4(Exposición de las autofunciones del mapa de Baker) .