Módulo equilibrado

En el subcampo del álgebra abstracta conocido como teoría de módulos , un módulo derecho R M se denomina módulo balanceado (o se dice que posee la propiedad de doble centralizador ) si todo endomorfismo del grupo abeliano M que conmuta con todos los R -endomorfismos de M se obtiene mediante la multiplicación por un elemento de anillo. Explícitamente, para cualquier endomorfismo aditivo f , si fg  = gf para todo R -endomorfismo g , entonces existe un r en R tal que f ( x ) = xr para todo x en M. En el caso de módulos no balanceados, existirá un f que no se puede expresar de esta manera.   

En el lenguaje de los centralizadores, un módulo equilibrado es aquel que satisface la conclusión del teorema del doble centralizador , es decir, los únicos endomorfismos del grupo M que conmutan con todos los R endomorfismos de M son los inducidos por la multiplicación derecha por elementos de anillo.

Un anillo se denomina equilibrado si cada módulo derecho R es equilibrado. ^{[ 1 ]} Resulta que ser equilibrado es una condición de simetría izquierda-derecha en los anillos, por lo que no es necesario anteponerle "izquierda" o "derecha".

El estudio de módulos y anillos equilibrados surgió del estudio de anillos QF-1 realizado por C.J. Nesbitt y R.M. Thrall . Este estudio continuó en la tesis doctoral de V.P. Camillo , donde posteriormente se desarrolló por completo. El artículo ( Dlab y Ringel, 1972 ) ofrece una visión particularmente amplia con numerosos ejemplos. Además de estas referencias, K. Morita y H. Tachikawa también han contribuido con resultados publicados e inéditos. En las referencias se puede encontrar una lista parcial de autores que han contribuido a la teoría de módulos y anillos equilibrados.

Ejemplos

• Los anillos semisimples están equilibrados. ^{[ 2 ]}
• Todo ideal derecho no nulo sobre un anillo simple está equilibrado. ^{[ 3 ]}
• Todo módulo fiel sobre un anillo cuasi-Frobenius está equilibrado. ^{[ 4 ]}
• El teorema del doble centralizador para anillos artinianos derechos establece que cualquier módulo R derecho simple es equilibrado.
• El artículo ( Dlab & Ringel 1972 ) contiene numerosas construcciones de módulos no balanceados.
• En Nesbitt y Thrall (1946 ) se estableció que los anillos uniseriales son equilibrados. Recíprocamente, un anillo equilibrado que se genera finitamente como módulo sobre su centro es uniserial. ^{[ 5 ]}
• Entre los anillos artinianos conmutativos, los anillos equilibrados son precisamente los anillos cuasi-Frobenius . ^{[ 6 ]}

Propiedades

• El "equilibrio" es una propiedad categórica para los módulos, es decir, se conserva mediante la equivalencia de Morita . Explícitamente, si F (–) es una equivalencia de Morita de la categoría de módulos R a la categoría de módulos S , y si M es equilibrado, entonces F ( M ) es equilibrado.
• La estructura de los anillos equilibrados también está completamente determinada en ( Dlab & Ringel 1972 ) , y se describe en ( Faith 1999 , pp. 222–224) .
• En vista del último punto, la propiedad de ser un anillo equilibrado es una propiedad invariante de Morita.
• La cuestión de qué anillos tienen todos los módulos R derechos finitamente generados balanceados ya ha sido respondida. Esta condición resulta ser equivalente a que el anillo R esté balanceado. ^{[ 7 ]}

• Camillo, Victor P. (1970), "Anillos equilibrados y un problema de Thrall", Trans. Amer. Math. Soc. , 149 : 143– 153, doi : 10.1090/s0002-9947-1970-0260794-0 , ISSN 0002-9947 , MR 0260794  
• Bourbaki, Nicolas (1973), Algébre, cap. 8: Modules et Anneaux Semi-Simples , p.  50, ISBN 978-2-7056-1261-0
• Camillo, VP; Fuller, KR (1972), "Álgebras balanceadas y QF-1", Proc. Amer. Math. Soc. , 34 (2): 373– 378, doi : 10.1090/s0002-9939-1972-0306256-0 , ISSN 0002-9939 , MR 0306256  
• Cunningham, RS; Rutter, EA Jr. (1972), "La propiedad del doble centralizador es categórica", Rocky Mountain J. Math. , 2 (4): 627– 629, doi : 10.1216/rmj-1972-2-4-627 , ISSN 0035-7596 , MR 0310017  
• Dlab, Vlastimil; Ringel, Claus Michael (1972), "Anillos con la propiedad de doble centralizador" , J. Algebra , 22 (3): 480–501 , doi : 10.1016/0021-8693(72)90163-9 , ISSN 0021-8693 , MR 0306258  
• Faith, Carl (1999), Anillos y cosas y una excelente selección de álgebra asociativa del siglo XX , Mathematical Surveys and Monographs, vol.  65, Providence, RI: American Mathematical Society, pp.  xxxiv+422, ISBN 0-8218-0993-8, MR 1657671 
• Lam, TY (2001), Un primer curso sobre anillos no conmutativos , Textos de posgrado en matemáticas, vol.  131 (2.ª  ed.), Nueva York: Springer-Verlag, pp.  xx+385, doi : 10.1007/978-1-4419-8616-0 , ISBN 0-387-95183-0, MR 1838439 
• Nesbitt, CJ; Thrall, RM (1946), "Algunos teoremas de anillos con aplicaciones a representaciones modulares", Ann. of Math. , 2, 47 (3): 551– 567, doi : 10.2307/1969092 , ISSN 0003-486X , JSTOR 1969092 , MR 0016760