Teorema de Balian-Low

En matemáticas , el teorema de Balian-Low en el análisis de Fourier recibe su nombre de Roger Balian y Francis E. Low . El teorema establece que no existe una función de ventana (o átomo de Gabor ) g bien localizada , ni en el tiempo ni en la frecuencia, para un marco de Gabor exacto (base de Riesz).

Supongamos que g es una función de cuadrado integrable en la recta real y consideremos el llamado sistema de Gabor.

${\displaystyle g_{m,n}(x)=e^{2\pi imbx}g(x-na),}$

para enteros m y n , y a,b>0 que satisfacen ab=1 . El teorema de Balian-Low establece que si

${\displaystyle \{g_{m,n}:m,n\in \mathbb {Z} \}}$

es una base ortonormal para el espacio de Hilbert

${\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} ),}$

entonces o

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }x^{2}|g(x)|^{2}\;dx=\infty \quad {\textrm {o}}\quad \int _{-\infty }^{\infty }\xi ^{2}|{\hat {g}}(\xi )|^{2}\;d\xi =\infty .}$

El teorema de Balian-Low se ha extendido a marcos de Gabor exactos .

• Filtro de Gabor (en procesamiento de imágenes)

• Benedetto, John J.; Heil, Christopher; Walnut, David F. (1994). "Diferenciación y el teorema de Balian-Low". Journal of Fourier Analysis and Applications . 1 (4): 355– 402. CiteSeerX 10.1.1.118.7368 . doi : 10.1007/s00041-001-4016-5 . 

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