divergencia de la bola

La divergencia de bola (BD) es una estadística no paramétrica de dos muestras que cuantifica la discrepancia entre dos medidas de probabilidad.${\displaystyle \mu }$y${\displaystyle \nu }$en un espacio métrico${\displaystyle (V,\rho )}$. ^{[ 1 ]} Se define integrando la diferencia al cuadrado de las medidas sobre todas las bolas cerradas en${\displaystyle V}$. Dejar${\displaystyle {\overline {B}}(u,r)=\{w\in V\mid \rho (u,w)\leq r\}}$sea ​​la bola cerrada de radio${\displaystyle r\geq 0}$centrado en${\displaystyle u\in V}$. De forma equivalente, se puede establecer${\displaystyle r=\rho (u,v)}$y escribir${\displaystyle {\overline {B}}{\bigl (}u,\rho (u,v){\bigr )}}$La divergencia de Ball se define entonces por$${\displaystyle BD(\mu ,\nu )=\iint _{V\times V}{\bigl [}\mu ({\overline {B}}(u,\rho (u,v)))-\nu ({\overline {B}}(u,\rho (u,v))){\bigr ]}^{2}\;{\bigl [}\mu (du)\,\mu (dv)+\nu (du)\,\nu (dv){\bigr ]}.}$$ Esta medida puede verse como una integral de la distancia de Harald Cramér sobre todos los pares de puntos posibles. Sumando las diferencias al cuadrado de${\displaystyle \mu }$y${\displaystyle \nu }$En bolas de todas las escalas, BD captura tanto las discrepancias globales como locales entre distribuciones, lo que produce una comparación robusta y sensible a la escala. Además, dado que BD se define como la integral de una diferencia de medida al cuadrado, siempre es no negativo y${\displaystyle BD(\mu,\nu)=0}$si y solo si${\displaystyle \mu =\nu }$.

A continuación, intentaremos dar un ejemplo de la divergencia de la bola. Para mayor comodidad, podemos descomponer la divergencia de la bola en dos partes: $${\displaystyle A=\iint _{V\times V}[\mu -\nu ]^{2}({\bar {B}}(u,\rho (u,v)))\mu (du)\mu (dv),}$$ y $${\displaystyle C=\iint _{V\times V}[\mu -\nu ]^{2}({\bar {B}}(u,\rho (u,v)))\nu (du)\nu (dv).}$$ De este modo${\displaystyle BD(\mu ,\nu )=A+C.}$

Dejar${\displaystyle \delta (x,y,z)=I(z\in {\bar {B}}(x,\rho (x,y)))}$denota si el punto${\displaystyle z}$se localiza en la pelota${\displaystyle {\bar {B}}(x,\rho (x,y))}$Dados dos ejemplos independientes${\displaystyle \{X_{1},\ldots ,X_{n}\}}$forma${\displaystyle \mu }$y${\displaystyle \{Y_{1},\ldots ,Y_{m}\}}$forma${\displaystyle \nu }$

$${\displaystyle {\begin{aligned}A_{ij}^{X}&={\frac {1}{n}}\sum _{u=1}^{n}\delta {\left(X_{i},X_{j},X_{u}\right)},&A_{ij}^{Y}&={\frac {1}{m}}\sum _{v=1}^{m}\delta {\left(X_{i},X_{j},Y_{v}\right)},\\C_{kl}^{X}&={\frac {1}{n}}\sum _{u=1}^{n}\delta {\left(Y_{k},Y_{l},X_{u}\right)},&C_{ij}^{Y}&={\frac {1}{m}}\sum _{v=1}^{m}\delta {\left(Y_{k},Y_{l},Y_{v}\right)},\end{aligned}}}$$ dónde${\displaystyle A_{ij}^{X}}$significa la proporción de muestras de la medida de probabilidad${\displaystyle \mu }$ubicado en la pelota${\displaystyle {\bar {B}}\left(X_{i},\rho \left(X_{i},X_{j}\right)\right)}$y${\displaystyle A_{ij}^{Y}}$significa la proporción de muestras de la medida de probabilidad${\displaystyle \nu }$ubicado en la pelota${\displaystyle {\bar {B}}\left(X_{i},\rho \left(X_{i},X_{j}\right)\right)}$. Mientras tanto,${\displaystyle C_{ij}^{X}}$y${\displaystyle C_{ij}^{Y}}$significa la proporción de muestras de la medida de probabilidad${\displaystyle \mu }$y${\displaystyle \nu }$ubicado en la pelota${\displaystyle {\bar {B}}\left(Y_{i},\rho \left(Y_{i},Y_{j}\right)\right)}$. Las versiones de muestra de${\displaystyle A}$y${\displaystyle C}$son los siguientes

$${\displaystyle A_{n,m}={\frac {1}{n^{2}}}\sum _{i,j=1}^{n}\left(A_{ij}^{X}-A_{ij}^{Y}\right)^{2},\qquad C_{n,m}={\frac {1}{m^{2}}}\sum _{k,l=1}^{m}\left(C_{kl}^{X}-C_{kl}^{Y}\right)^{2}.}$$

Finalmente, podemos dar la divergencia de la bola de muestra

$${\displaystyle BD_{n,m}=A_{n,m}+C_{n,m}.}$$

Se puede demostrar que${\displaystyle BD_{n,m}}$es un estimador consistente de BD. Además, si${\textstyle {\tfrac {n}{n+m}}\to \tau }$para algunos${\displaystyle \tau \in [0,1]}$, entonces bajo la hipótesis nula${\displaystyle BD_{n,m}}$converge en distribución a una mezcla de distribuciones chi-cuadrado, mientras que bajo la hipótesis alternativa converge a una distribución normal .

1. La raíz cuadrada de la divergencia de Ball es una divergencia simétrica pero no una métrica, porque no satisface la desigualdad triangular .
2. Se puede demostrar que la divergencia de Ball, la prueba de distancia de energía ^{[ 2 ]} y MMD ^{[ 3 ]} están unificadas dentro del marco del variograma; para más detalles, véase la Observación 2.4 en ^{[ 1 ] .}

La divergencia de bolas admite una extensión directa al contexto de K muestras. Supongamos que${\displaystyle \mu _{1},\dots ,\mu _{K}}$son${\displaystyle K(\geq 2)}$medidas de probabilidad en un espacio de Banach${\displaystyle (V,\|\cdot \|)}$. Defina la BD de K muestras mediante

$${\displaystyle D(\mu _{1},\dots ,\mu _{K})=\sum _{1\leq k<l\leq K}\iint _{V\times V}{\bigl [}\mu _{k}{\bigl (}{\overline {B}}(u,\rho (u,v)){\bigr )}-\mu _{l}{\bigl (}{\overline {B}}(u,\rho (u,v)){\bigr )}{\bigr ]}^{2}\;{\bigl [}\mu _{k}(du)\,\mu _{k}(dv)+\mu _{l}(du)\,\mu _{l}(dv){\bigr ]}.}$$

De los Teoremas 1 y 2 se deduce entonces que${\displaystyle D(\mu _{1},\dots ,\mu _{K})=0}$si y solo si${\displaystyle \mu _{1}=\mu _{2}=\cdots =\mu _{K}.}$

Al emplear bolas cerradas para definir una función de distribución métrica, se obtiene una medida de homogeneidad alternativa. ^{[ 4 ]}

Dada una medida de probabilidad${\displaystyle {\tilde {\mu }}}$en un espacio métrico${\displaystyle (V,\rho )}$, su función de distribución métrica se define por

$${\displaystyle F_{\tilde {\mu }}^{M}(u,v)={\tilde {\mu }}{\bigl (}{\overline {B}}(u,\rho (u,v)){\bigr )}=\mathbb {E} {\bigl [}\delta (u,v,X){\bigr ]},\quad u,v\in V,}$$

dónde${\displaystyle {\overline {B}}(u,r)=\{w\in V:d(u,w)\leq r\}}$es la bola cerrada de radio${\displaystyle r\geq 0}$centrado en${\displaystyle u}$, y${\displaystyle \delta (u,v,X)=\prod _{k=1}^{K}\mathbf {1} \{X^{(k)}\in {\overline {B}}_{k}(u_{k},\rho _{k}(u_{k},v_{k}))\}.}$

Si${\displaystyle (X_{1},\dots ,X_{N})}$son iid saca de${\displaystyle ({\tilde {\mu }})}$, la versión empírica es

$${\displaystyle F_{{\tilde {\mu }},N}^{M}(u,v)={\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}\delta (u,v,X_{i}).}$$

Sobre la base de estos, la medida de homogeneidad basada en MDF, también llamada métrica de Cramér-von Mises (MCVM), es $${\displaystyle \mathrm {MCVM} {\bigl (}\mu _{k}\parallel \mu {\bigr )}=\int _{V\times V}p_{k}^{2}\,w(u,v)\,{\bigl [}F_{\mu _{k}}^{M}(u,v)-F_{\mu }^{M}(u,v){\bigr ]}^{2}\,d\mu _{k}(u)\,d\mu _{k}(v),}$$

dónde${\textstyle \mu =\sum _{k=1}^{K}p_{k}\,\mu _{k}}$ser su mezcla con pesos${\displaystyle p_{1},\dots ,p_{K}}$, y${\textstyle w(u,v)=\exp \left(-{\tfrac {d(u,v)^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right)}$. El MCVM general es entonces

$${\displaystyle \mathrm {MCVM} (\mu _{1},\dots ,\mu _{K})=\sum _{k=1}^{K}p_{k}^{2}\,\mathrm {MCVM} {\bigl (}\mu _{k}\parallel \mu {\bigr )}.}$$

El MCVM empírico viene dado por

$${\displaystyle {\widehat {\mathrm {MCVM} }}{\bigl (}\mu _{k}\parallel \mu {\bigr )}={\frac {1}{n_{k}^{2}}}\sum _{X_{i}^{(k)},X_{j}^{(k)}\in {\mathcal {X}}_{k}}w{\bigl (}X_{i}^{(k)},X_{j}^{(k)}{\bigr )}\,\left[F_{\mu _{k},n_{k}}^{M}{\bigl (}X_{i}^{(k)},X_{j}^{(k)}{\bigr )}-F_{\mu ,n}^{M}{\bigl (}X_{i}^{(k)},X_{j}^{(k)}{\bigr )}\right]^{2}.}$$

dónde${\displaystyle {\mathcal {X}}_{k}=\{X_{1}^{(k)},\dots ,X_{n_{k}}^{(k)}\}}$ser una muestra iid de${\displaystyle \mu _{k}}$, y${\displaystyle {\hat {p}}_{k}={\frac {n_{k}}{\sum _{\ell =1}^{K}n_{\ell }}}.}$ Una opción práctica para${\displaystyle \sigma ^{2}}$es la mediana de las distancias al cuadrado $${\displaystyle \left\{d(X,X')^{2}:X,X'\in \bigcup _{k=1}^{K}{\mathcal {X}}_{k}\right\}.}$$