paradoja de Ross-Littlewood

La respuesta más intuitiva parece ser que el jarrón contiene un número infinito de bolas al mediodía, ya que en cada paso se añaden más bolas de las que se quitan. Por definición, en cada paso habrá un número mayor de bolas que en el paso anterior. De hecho, no hay ningún paso en el que el número de bolas disminuya con respecto al paso anterior. Si el número de bolas aumenta cada vez, entonces después de infinitos pasos habrá un número infinito de bolas.

Supongamos que las bolas del suministro infinito de bolas están numeradas, y que en el paso 1 se insertan las bolas del 1 al 10 en el jarrón, y luego se retira la bola número 1. En el paso 2, se insertan las bolas del 11 al 20, y luego se retira la bola 2. Esto significa que, al mediodía, cada bola etiquetada como n que se inserta en el jarrón se retira finalmente en un paso posterior (es decir, en el paso n ). Por lo tanto, el jarrón está vacío al mediodía. Esta es la solución preferida por los matemáticos Allis y Koetsier. Es la yuxtaposición de este argumento de que el jarrón está vacío al mediodía, junto con la respuesta más intuitiva de que el jarrón debería contener infinitas bolas, lo que ha justificado que este problema se denomine la paradoja de Ross-Littlewood.

La versión probabilística del problema propuesta por Ross extendió el método de extracción al caso en que, cada vez que se retira una bola, esta se selecciona uniformemente al azar entre las presentes en el jarrón en ese momento. En este caso, demostró que la probabilidad de que una bola en particular permaneciera en el jarrón al mediodía era 0 y, por lo tanto, utilizando la desigualdad de Boole y calculando una suma contable sobre las bolas, la probabilidad de que el jarrón estuviera vacío al mediodía era 1. ^{[ 2 ]}

El número de bolas que se obtienen depende del orden en que se retiran del jarrón. Como se indicó anteriormente, las bolas se pueden añadir y retirar de tal manera que no quede ninguna en el jarrón al mediodía. Sin embargo, si se retira la bola número 10 en el paso 1, la bola número 20 en el paso 2, y así sucesivamente, entonces es evidente que quedará un número infinito de bolas en el jarrón al mediodía. De hecho, dependiendo de qué bola se retire en cada paso, se puede colocar cualquier número de bolas en el jarrón al mediodía, como demuestra el procedimiento que se muestra a continuación. Esta es la solución preferida por el filósofo y lógico Tom Tymoczko y el matemático y lógico Jim Henle . Esta solución corresponde matemáticamente a tomar el límite inferior de una sucesión de conjuntos .

El siguiente procedimiento describe con exactitud cómo obtener un número determinado de bolas que queden en el jarrón.

Sea n el número final deseado de bolas en el jarrón ( n ≥ 0 ). Sea i el número de la operación que se está llevando a cabo actualmente ( i ≥ 1 ).

Procedimiento:

para i = 1 hasta infinito:

Coloca las bolas numeradas del (10*i - 9) al (10*i) en el jarrón.

Si i ≤ n, entonces retira la bola número 2*i.

Si i > n, entonces retira la bola número n + i.

Evidentemente, las primeras n bolas impares no se retiran, mientras que todas las bolas mayores o iguales a 2n sí . Por lo tanto, quedan exactamente n bolas en el jarrón.

Aunque el estado de las bolas y el jarrón está bien definido en cada instante anterior al mediodía, no se puede llegar a ninguna conclusión sobre ningún momento en el tiempo a mediodía o después . Por lo tanto, por lo que sabemos, al mediodía el jarrón simplemente desaparece mágicamente, o le sucede algo más. Pero no lo sabemos, ya que el enunciado del problema no dice nada al respecto. Por consiguiente, al igual que la solución anterior, esta solución afirma que el problema está insuficientemente especificado, pero de una manera diferente. Esta solución es la preferida por el filósofo de las matemáticas Paul Benacerraf .

El problema está mal planteado. Para ser precisos, según el enunciado, se realizará un número infinito de operaciones antes del mediodía, y luego se pregunta sobre el estado de las cosas al mediodía. Pero, como en las paradojas de Zenón , si se deben realizar infinitas operaciones (secuencialmente) antes del mediodía, entonces el mediodía es un punto en el tiempo que nunca se puede alcanzar. Por otro lado, preguntar cuántas bolas quedarán al mediodía implica asumir que se alcanzará el mediodía. Por lo tanto, existe una contradicción implícita en el propio enunciado del problema, y ​​esta contradicción es la suposición de que se puede "completar" de alguna manera un número infinito de pasos. Esta es la solución preferida por el matemático y filósofo Jean Paul Van Bendegem .