El problema de la caja de cerillas de Banach

El problema de la pareja de Banach es un problema clásico de probabilidad atribuido a Stefan Banach . Feller ^{[ 1 ]} dice que el problema fue inspirado por una referencia humorística al hábito de fumar de Banach en un discurso en su honor pronunciado por Hugo Steinhaus , pero que no fue Banach quien planteó el problema ni proporcionó una respuesta.

Supongamos que un matemático lleva siempre consigo dos cajas de cerillas: una en el bolsillo izquierdo y otra en el derecho. Cada vez que necesita una cerilla, tiene la misma probabilidad de sacarla de cualquiera de los dos bolsillos. Supongamos que mete la mano en el bolsillo y descubre por primera vez que la caja elegida está vacía. Si se supone que cada una de las cajas de cerillas originalmente contenía${\displaystyle N}$coincidencias, ¿cuál es la probabilidad de que haya exactamente${\displaystyle k}$¿Hay cerillas en la otra caja?

Sin pérdida de generalidad, consideremos el caso en que la caja de cerillas en su bolsillo derecho tiene un número ilimitado de cerillas y dejemos${\displaystyle M}$sea ​​el número de cerillas extraídas de esta antes de que la izquierda se encuentre vacía. Cuando se encuentra vacía la bolsa izquierda, el hombre ha elegido esa bolsa.${\displaystyle (N+1)}$veces. Entonces${\displaystyle M}$es el número de éxitos antes${\displaystyle (N+1)}$fallos en los ensayos de Bernoulli con${\displaystyle p=1/2}$, que tiene la distribución binomial negativa y por lo tanto

${\displaystyle P[M=m]={\binom {N+m}{m}}\left({\frac {1}{2}}\right)^{N+1+m}}$.

Volviendo al problema original, vemos que la probabilidad de que el bolsillo izquierdo se encuentre vacío primero es${\displaystyle P[M<N+1]}$lo cual es igual a${\displaystyle 1/2}$porque ambos son igualmente probables. Vemos que el número${\displaystyle K}$de partidos restantes en el otro bolsillo es

${\displaystyle P[K=k]=P[M=Nk|M<N+1]=2P[M=Nk]={\binom {2N-k}{Nk}}\left({\frac {1}{2}}\right)^{2N-k}}$.

La esperanza de la distribución es${\displaystyle 4^{1-N}r{\binom {2N-1}{N}}={\frac {2\left(N-{\frac {1}{2}}\right)!}{{\sqrt {\pi }}\left(N-1\right)!}}}$Esto puede aproximarse como${\displaystyle 2{\sqrt {N/\pi }}-1}$(Esto se muestra utilizando la aproximación de Stirling ^{[ 2 ]} )

Como ejemplo, comenzando con cajas con${\displaystyle N=40}$partidos, el número esperado de partidos en la segunda casilla es aproximadamente${\displaystyle 7}$.

• Lista de cosas que llevan el nombre de Stefan Banach.

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