Limitación de banda

Un ejemplo de una señal determinista simple de ancho de banda limitado es una sinusoide de la forma${\displaystyle x(t)=\sin(2\pi ft+\theta ).}$Si esta señal se muestrea a una velocidad${\displaystyle f_{s}={\tfrac {1}{T}}>2f}$para que tengamos las muestras${\displaystyle x(nT),}$para todos los números enteros${\displaystyle n}$podemos recuperarnos${\displaystyle x(t)}$completamente a partir de estas muestras. De manera similar, las sumas de sinusoides con diferentes frecuencias y fases también están limitadas en banda a la más alta de sus frecuencias.

La señal cuya transformada de Fourier se muestra en la figura también tiene ancho de banda limitado. Supongamos que${\displaystyle x(t)}$es una señal cuya transformada de Fourier es${\displaystyle X(f),}$cuya magnitud se muestra en la figura. El componente de frecuencia más alta en${\displaystyle x(t)}$es${\displaystyle B.}$Como resultado, la tasa de Nyquist es

${\displaystyle R_{N}=2B\,}$

o el doble del componente de frecuencia más alta en la señal, como se muestra en la figura. Según el teorema de muestreo, es posible reconstruir${\displaystyle x(t)\ }$completamente y exactamente usando las muestras

${\displaystyle x(nT)=x\left({n \over f_{s}}\right)}$para todos los números enteros${\displaystyle n\,}$y${\displaystyle T\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {1 \over f_{s}}}$

mientras

${\displaystyle f_{s}>R_{N}\,}$

La reconstrucción de una señal a partir de sus muestras se puede realizar utilizando la fórmula de interpolación de Whittaker-Shannon .

Supongamos que existe una señal f(t) con soporte finito en ambos dominios y que no es idénticamente cero. Muestrémosla a una frecuencia mayor que la frecuencia de Nyquist y calculemos la transformada de Fourier correspondiente.${\displaystyle FT(f)=F_{1}(w)}$y la transformada de Fourier de tiempo discreto${\displaystyle DTFT(f)=F_{2}(w)}$. Según las propiedades de DTFT,${\displaystyle F_{2}(w)=\sum _ {n=-\infty }^{+\infty }F_{1}(w+nf_{x})}$, dónde${\displaystyle f_{x}}$es la frecuencia utilizada para la discretización . Si f tiene ancho de banda limitado,${\displaystyle F_{1}}$es cero fuera de un cierto intervalo, por lo que con un valor suficientemente grande${\displaystyle f_{x}}$,${\displaystyle F_{2}}$también será cero en algunos intervalos, ya que los soportes individuales de${\displaystyle F_{1}}$en suma de${\displaystyle F_{2}}$no se superpondrán. Según la definición de DTFT,${\displaystyle F_{2}}$es una suma de funciones trigonométricas , y dado que f(t) tiene un tiempo limitado, esta suma será finita, por lo que${\displaystyle F_{2}}$será en realidad un polinomio trigonométrico . Todos los polinomios trigonométricos son holomorfos en todo el plano complejo , y existe un teorema simple en análisis complejo que dice que todos los ceros de una función holomorfa no constante están aislados . Pero esto contradice nuestro hallazgo anterior de que${\displaystyle F_{2}}$tiene intervalos llenos de ceros, porque los puntos en dichos intervalos no están aislados. Por lo tanto, la única señal limitada en tiempo y ancho de banda es un cero constante.

Una consecuencia importante de este resultado es que resulta imposible generar una señal verdaderamente de ancho de banda limitado en cualquier situación real, ya que dicha señal requeriría un tiempo infinito para su transmisión. Todas las señales reales están, por necesidad, limitadas en el tiempo , lo que significa que no pueden tener un ancho de banda limitado. No obstante, el concepto de señal de ancho de banda limitado constituye una idealización útil para fines teóricos y analíticos. Además, es posible aproximar una señal de ancho de banda limitado con cualquier nivel de precisión deseado.

Una relación similar entre la duración en el tiempo y el ancho de banda en la frecuencia también constituye la base matemática del principio de incertidumbre en mecánica cuántica . En ese contexto, el "ancho" de las funciones en el dominio del tiempo y en el dominio de la frecuencia se evalúa con una medida similar a la varianza . Cuantitativamente, el principio de incertidumbre impone la siguiente condición a cualquier forma de onda real:

${\displaystyle W_{B}T_{D}\geq 1}$

dónde

${\displaystyle W_{B}}$es una medida (debidamente elegida) de ancho de banda (en hercios), y

${\displaystyle T_{D}}$es una medida (debidamente elegida) de duración del tiempo (en segundos).

En el análisis tiempo-frecuencia , estos límites se conocen como el límite de Gabor y se interpretan como un límite a la resolución tiempo-frecuencia simultánea que se puede lograr.