paradoja del barbero

La paradoja del barbero es un enigma derivado de la paradoja de Russell . Se le sugirió a Bertrand Russell como ilustración de la paradoja , pero él la consideró una modificación inválida de la misma. ^{[ 1 ]} El enigma muestra que un escenario aparentemente plausible es lógicamente imposible. Específicamente, describe a un barbero que se define de tal manera que se afeita y no se afeita a la vez, lo que implica que tal barbero no existe. ^{[ 2 ] [ 3 ]}

El barbero es «aquel que afeita a todos aquellos, y solo a aquellos, que no se afeitan». La pregunta es: ¿se afeita el barbero? ^{[ 1 ]}

Cualquier respuesta a esta pregunta resulta en una contradicción :

1. El barbero no puede afeitarse a sí mismo, ya que solo afeita a quienes no se afeitan. Por lo tanto, si se afeita, deja de ser el barbero especificado.
2. Por el contrario, si el barbero no se afeita, entonces pertenece al grupo de personas a las que el barbero especificado sí afeitaría y, por lo tanto, como ese barbero, debe afeitarse él mismo.

En su forma original, esta paradoja no tiene solución, ya que tal barbero no puede existir. La pregunta es capciosa, pues presupone la existencia de un barbero que no podría existir, lo cual es una proposición vacía y, por lo tanto, falsa. Existen otras variantes no paradójicas, pero son diferentes. ^{[ 3 ]}

Esta paradoja se atribuye a menudo erróneamente a Bertrand Russell (por ejemplo, Martin Gardner en ¡Ajá! ). Se le sugirió a Russell como una forma alternativa de la paradoja de Russell ^{[ 1 ]} , que Russell había ideado para demostrar que la teoría de conjuntos, tal como la utilizaban Georg Cantor y Gottlob Frege, contenía contradicciones. Sin embargo, Russell negó que la paradoja del barbero fuera un ejemplo propio:

Esa contradicción [la paradoja de Russell] es sumamente interesante. Se puede modificar su forma; algunas modificaciones son válidas y otras no. Una vez me propusieron una forma que no era válida: la pregunta de si el barbero se afeita o no. Se puede definir al barbero como «aquel que afeita a todos aquellos, y solo a aquellos, que no se afeitan». La pregunta es: ¿se afeita el barbero? En esta forma, la contradicción no es muy difícil de resolver. Pero en nuestra forma anterior, creo que es evidente que solo se puede sortear observando que toda la cuestión de si una clase es o no miembro de sí misma carece de sentido; es decir, ninguna clase es o no es miembro de sí misma, y ​​ni siquiera es cierto afirmarlo, porque la forma misma de las palabras es solo ruido sin significado.

Este punto se desarrolla con más detalle en el apartado " Versiones aplicadas de la paradoja de Russell" .

${\displaystyle (\exists x)({\text{persona}}(x)\wedge (\forall y)({\text{persona}}(y)\implies ({\text{afeita}}(x,y)\iff \neg {\text{afeita}}(y,y))))}$

Esta oración dice que existe un barbero x . Su valor de verdad es falso, ya que la cláusula existencial es insatisfacible (una contradicción) debido al cuantificador universal.${\displaystyle (\forall )}$. La variable y cuantificada universalmente incluirá cada elemento del dominio, incluido nuestro infame barbero x . Entonces, cuando se asigna el valor x a y , la oración en el cuantificador universal se puede reescribir a${\displaystyle {\text{afeita}}(x,x)\iff \neg {\text{afeita}}(x,x)}$, lo cual es un ejemplo de la contradicción${\displaystyle a\iff \neg a}$Dado que la oración es falsa para la bicondicional, toda la cláusula universal es falsa. Dado que la cláusula existencial es una conjunción con un operando falso, toda la oración es falsa. Otra forma de demostrar esto es negar toda la oración y llegar a una tautología . Nadie es tal barbero, por lo que no hay solución a la paradoja. ^{[ 2 ] [ 3 ]}

${\displaystyle (\exists x)({\text{person}}(x)\wedge \bot )}$

${\displaystyle (\exists x)(\bot )}$

${\displaystyle \bot }$

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• Proposición de la paradoja del barbero
• Joyce, Helen. "Misterios matemáticos: La paradoja del barbero". Plus , mayo de 2002.
• La perspectiva de Edsger Dijkstra sobre el problema
• Russell, Bertrand (1919). "La filosofía del atomismo lógico" . The Monist . 29 (3): 345– 380. doi : 10.5840/monist19192937 . JSTOR 27900748 .