Fórmula barométrica

La fórmula barométrica es una fórmula que se utiliza para modelar cómo cambia la presión atmosférica (o la densidad del aire ) con la altitud .

La Atmósfera Estándar de EE. UU. proporciona dos ecuaciones para calcular la presión en función de la altura, válidas desde el nivel del mar hasta los 86  km de altitud. La primera ecuación es aplicable a las capas atmosféricas en las que se supone que la temperatura varía con la altitud con un gradiente de temperatura distinto de cero .${\displaystyle L_{M,b}}$: ^{[ 1 ] : 12}$${\displaystyle P=P_{b}\cdot \left[{\frac {T_{M,b}}{T_{M,b}+L_{M,b}\cdot (H-H_{b})}}\right]^{\frac {g_{0}'\cdot M_{0}}{R^{*}\cdot L_{M,b}}}.}$$

La segunda ecuación es aplicable a las capas atmosféricas en las que se supone que la temperatura no varía con la altitud (gradiente de temperatura cero): ^{[ 1 ] : 12}$${\displaystyle P=P_{b}\cdot \exp \left[{\frac {-g_{0}'\cdot M_{0}(H-H_{b})}{R^{*}\cdot T_{M,b}}}\right].}$$

En ambas ecuaciones:

${\displaystyle P_{b}}$= presión de referencia;

${\displaystyle T_{M,b}}$= temperatura de referencia ( K );

${\displaystyle L_{M,b}}$= gradiente de temperatura (K/m), por ejemplo, -6,5  K/km a nivel del mar (este es el gradiente térmico vertical con la convención de signo opuesta);

${\displaystyle H}$= altura geopotencial a la que se calcula la presión (m);

${\displaystyle H_{b}}$= altura geopotencial del nivel de referencia b (metros, p. ej., H _b =11 000  m );

${\displaystyle R^{*}}$= constante universal de los gases , considerada como 8,31432 × 10³  J/(kmol·K) ^{[ 1 ] : 3} , aunque el valor real de la constante en esas unidades se redondea a 8,31446;

${\displaystyle M_{0}}$= masa molar media del aire a nivel del mar = 28,9644  kg/kmol a partir de 1976; ^{[ 1 ] : 9}

${\displaystyle g_{0}'}$= la aceleración gravitacional en unidades de altura geopotencial = 9,80665 m  /s² ^{. [ 1 ] : 3}

O convertido a unidades imperiales : ^{[ 2 ]}

${\displaystyle P_{b}}$= presión de referencia;

${\displaystyle T_{M,b}}$= temperatura de referencia ( K );

${\displaystyle L_{M,b}}$= gradiente de temperatura (K/pie);

${\displaystyle H}$= altura a la que se calcula la presión (pies);

${\displaystyle H_{b}}$= altura del nivel de referencia b (pies, p. ej., H _b =36 089  pies );

${\displaystyle R^{*}}$= constante universal de los gases , usando pies, kelvins y moles (SI) , tomada aproximadamente como 8,949 4596 × 10 ⁴ lb _m ·ft ² /(lb _m -mol·K·s ² ) al convertir correctamente la constante (incorrectamente) tomada del sistema métrico al imperial; 

${\displaystyle g_{0}'}$= aceleración gravitacional = 32,17405 ft/ ^s² ; 

${\displaystyle M}$= masa molar media del aire de la Tierra = 28,9644 lb / lb - mol (ambas lb son libras-masa , no libras-fuerza ). 

El valor del subíndice b varía de 0 a 6 de acuerdo con cada una de las siete capas sucesivas de la atmósfera que se muestran en la tabla siguiente. En estas ecuaciones, g ₀ , M y R ^* son constantes de un solo valor, mientras que P , L , T y H son constantes multivaluadas de acuerdo con la tabla siguiente. Los valores utilizados para M , g ₀ , y R ^* están de acuerdo con la Atmósfera Estándar de EE. UU. , 1976, y el valor de R ^* en particular no coincide con los valores estándar para esta constante. ^{[ 1 ] : 3} El valor de referencia para P _b para b  =  0 es el valor definido a nivel del mar, P ₀  =101 325 Pa  , o 29,92126  inHg. Los valores de P _b de b  =  1 a b  =  6 se obtienen a partir de la aplicación del miembro apropiado del par de ecuaciones 1 y 2 para el caso en que H = H _{b +1} . ^{[ 1 ] : 12}

La densidad se puede calcular a partir de la presión y la temperatura utilizando ^{[ 1 ] : 15}$${\displaystyle \rho ={\frac {P\cdot M_{0}}{R^{*}\cdot T_{M}}}={\frac {P\cdot M}{R^{*}\cdot T}},}$$ dónde

${\displaystyle M_{0}}$es el peso molecular a nivel del mar;

${\displaystyle M}$es el peso molecular medio a la altitud de interés;

${\displaystyle T}$es la temperatura a la altitud de interés;

${\displaystyle T_{M}=T\cdot M_{0}/M}$es la temperatura a escala molecular. ^{[ 1 ] : 9}

Se supone que la atmósfera está completamente mezclada hasta unos 80  km, por lo que${\displaystyle M=M_{0}}$dentro de la región de validez de las ecuaciones aquí presentadas. ^{[ 1 ] : 9}

Alternativamente, las ecuaciones de densidad pueden derivarse de la misma forma que las de presión, utilizando densidades de referencia en lugar de presiones de referencia.

Este modelo, con su perfil de temperatura simple segmentado linealmente, no concuerda del todo con la atmósfera observada físicamente a altitudes inferiores a 20  km. Entre 51  km y 81  km se acerca más a las condiciones observadas. ^{[ 1 ] : 1}

La fórmula barométrica se puede derivar utilizando la ley de los gases ideales : $${\displaystyle P={\frac {\rho }{M}}{R^{*}}T}$$

Suponiendo que toda la presión es hidrostática : $${\displaystyle dP=-\rho g\,dz}$$ y dividiendo esta ecuación por${\displaystyle P}$obtenemos: $${\displaystyle {\frac {dP}{P}}=-{\frac {Mg\,dz}{R^{*}T}}}$$

Integrando esta expresión desde la superficie hasta la altitud z obtenemos: $${\displaystyle P=P_{0}e^{-\int _{0}^{z}{Mgdz/R^{*}T}}}$$

Suponiendo un cambio de temperatura lineal${\displaystyle T=T_{0}-Lz}$y con masa molar y aceleración gravitatoria constantes, obtenemos la primera fórmula barométrica: $${\displaystyle P=P_{0}\cdot \left[{\frac {T}{T_{0}}}\right]^{\textstyle {\frac {Mg}{R^{*}L}}}}$$

En cambio, suponiendo una temperatura constante, la integración da como resultado la segunda fórmula barométrica: $${\displaystyle P=P_{0}e^{-Mgz/R^{*}T}}$$

En esta formulación, R ^* es la constante de los gases y el término R ^* T / Mg da la altura de escala (aproximadamente igual a 8,4  km para la troposfera ).

La derivación mostrada anteriormente utiliza un método basado en la mecánica clásica. Existen varias derivaciones alternativas, siendo las más destacadas las basadas en fuerzas termodinámicas y mecánica estadística. ^{[ 3 ]}

(Para obtener resultados exactos, conviene recordar que las atmósferas que contienen agua no se comportan como un gas ideal . Consulte los términos «gas real» , «gas perfecto» o «gas» para una mejor comprensión).

La barosfera es la región de la atmósfera planetaria donde se aplica la ley barométrica . Se extiende desde el suelo hasta la termopausa , también conocida como baropausia. Por encima de esta altitud se encuentra la exosfera , donde la distribución de velocidad atmosférica no es maxwelliana debido a que los átomos y moléculas de alta velocidad pueden escapar de la atmósfera. ^{[ 4 ] [ 5 ]}

• ecuación hipsométrica
• NRLMSISE-00