Superficie de Barth

En geometría algebraica , una superficie de Barth es una de las superficies nodales complejas en 3 dimensiones con gran cantidad de puntos dobles, hallada por Wolf Barth ( 1996 ) . Dos ejemplos son el sexto de Barth de grado 6 con 65 puntos dobles y el décimo de Barth de grado 10 con 345 puntos dobles. 

Para superficies de grado 6 en P ³ , David Jaffe y Daniel Ruberman ( 1997 ) demostraron que 65 es el número máximo de puntos dobles posibles. El sexto de Barth es un contraejemplo a una afirmación incorrecta de Francesco Severi en 1946 de que 52 es el número máximo de puntos dobles posibles. 

El séxtico de Barth puede visualizarse en tres dimensiones como compuesto por 50 puntos dobles ordinarios finitos y 15 infinitos (nodos).

Como se observa en la figura, los 50 puntos dobles ordinarios finitos se disponen como los vértices de 20 figuras aproximadamente tetraédricas , orientadas de tal manera que las bases de estas figuras de cuatro lados que apuntan hacia afuera forman las caras triangulares de un icosidodecaedro regular . A estos 30 vértices icosidodecaédricos se suman los vértices superiores de las 20 figuras tetraédricas. Estos 20 puntos son, a su vez, los vértices de un dodecaedro regular concéntrico circunscrito al icosidodecaedro interior. En conjunto, estos son los 50 puntos dobles ordinarios finitos de la figura.

Los 15 puntos dobles ordinarios restantes en el infinito corresponden a las 15 líneas que pasan por los vértices opuestos del icosidodecaedro inscrito, las cuales también se intersecan en el centro de la figura. ( Baez 2016 ) .

• Superficie de Endrass
• Superficie de Sarti
• Superficie de Togliatti
• Lista de superficies algebraicas

• Baez, John (15 de abril de 2016), "Barth Sextic" , Visual Insight , American Mathematical Society , consultado el 27 de diciembre de 2016..
• Barth, W. (1996), "Dos superficies proyectivas con muchos nodos, que admiten las simetrías del icosaedro", Journal of Algebraic Geometry , 5 (1): 173–186 , MR 1358040 .
• Jaffe, David B.; Ruberman, Daniel (1997), "Una superficie séxtica no puede tener 66 nodos", Journal of Algebraic Geometry , 6 (1): 151– 168, MR 1486992 .

• "Barth sextic" . Archivado del original el 19 de febrero de 2012.
• "Barth decic" . Archivado del original el 19 de febrero de 2012.
• Weisstein, Eric W. , " Barth Sextic " (" Barth Decic ") en MathWorld .
• "Animaciones de superficies de Barth" . Archivado del original el 25 de enero de 2008.