Senado

Un sistema de numeración senario ( / ˈ s iː n ər i , ˈ s ɛ n ər i / ^{[ 1 ]} ) (también conocido como base 6 , heximal o seximal ^{[ 2 ]} ) tiene seis como base . Ha sido adoptado de forma independiente por un pequeño número de culturas. Al igual que la base decimal 10, la base es un semiprimo , aunque es única por ser el producto de los dos únicos números consecutivos que son primos (2 y 3). Dado que seis es un número compuesto superior , muchos de los argumentos a favor del sistema duodecimal también se aplican al sistema senario.

El conjunto estándar de dígitos en el sistema senatorial es${\displaystyle {\mathcal {D}}_{6}=\lbrace 0,1,2,3,4,5\rbrace }$, con el orden lineal${\displaystyle 0<1<2<3<4<5}$. Dejar${\displaystyle {\mathcal {D}}_{6}^{*}}$ser el cierre de Kleene de${\displaystyle {\mathcal {D}}_{6}}$, dónde${\displaystyle ab}$es la operación de concatenación de cadenas para${\displaystyle a,b\in {\mathcal {D}}^{*}}$El sistema de numeración senaria para los números naturales${\displaystyle {\mathcal {N}}_{6}}$es el conjunto cociente${\displaystyle {\mathcal {D}}_{6}^{*}/\sim}$equipado con un orden shortlex , donde la clase de equivalencia${\displaystyle \sim }$es${\displaystyle \lbrace n\in {\mathcal {D}}_{6}^{*},n\sim 0n\rbrace }$. Como${\displaystyle {\mathcal {N}}_{6}}$tiene un orden shortlex, es isomorfo a los números naturales${\displaystyle \mathbb {N} }$.

Cuando se expresan en senario, todos los números primos distintos de 2 y 3 tienen 1 o 5 como último dígito. En senario, los números primos se escriben:

2, 3, 5, 11, 15, 21, 25, 31, 35, 45, 51, 101, 105, 111, 115, 125, 135, 141, 151, 155, 201, 211, 215, 225, 241, 245, 251, 255, 301, 305, 331, 335, 345, 351, 405, 411, 421, 431, 435, 445, 455, 501, 515, 521, 525, 531, 551, ... (secuencia A004680 en el OEIS )

Es decir, para cada número primo p mayor que 3, se cumple la relación aritmética modular de que p ≡ 1 o 5 (mod 6) (es decir, 6 divide a p − 1 o a p − 5); el último dígito es 1 o 5. Esto se demuestra por contradicción.    

Para cualquier entero n :

• Si n ≡ 0 (mod 6), 6 | n
• Si n ≡ 2 (mod 6), 2 | n
• Si n ≡ 3 (mod 6), 3 | n
• Si n ≡ 4 (mod 6), 2 | n

Además, dado que los cuatro números primos más pequeños (2, 3, 5, 7) son divisores o vecinos de 6, el sistema de senarios tiene pruebas de divisibilidad sencillas para muchos números.

Además, todos los números pares perfectos, excepto el 6, tienen 44 como los dos últimos dígitos cuando se expresan en senario, lo cual se demuestra por el hecho de que todo número par perfecto es de la forma 2 ^{p – 1} (2 ^p – 1) , donde 2 ^p − 1 es primo.

Senario es también la base numérica más grande r que no tiene sumatorias aparte de 1 y r  −  1, lo que hace que su tabla de multiplicar sea muy regular para su tamaño, minimizando el esfuerzo necesario para memorizarla. Esta propiedad maximiza la probabilidad de que el resultado de una multiplicación de enteros sea cero, dado que ninguno de sus factores lo es.

Si un número es divisible por 2, entonces el último dígito de ese número, cuando se expresa en senario, es 0, 2 o 4. Si un número es divisible por 3, entonces el último dígito de ese número en senario es 0 o 3. Un número es divisible por 4 si su penúltimo dígito es impar y su último dígito es 2, o su penúltimo dígito es par y su último dígito es 0 o 4. Un número es divisible por 5 si la suma de sus dígitos en senario es divisible por 5 (el equivalente a descartar los nueves en decimal). Si un número es divisible por 6, entonces el último dígito de ese número es 0. Para determinar si un número es divisible por 7, se pueden sumar sus dígitos alternos y restar esas sumas; si el resultado es divisible por 7, el número es divisible por 7, similar a la prueba de divisibilidad "11" en decimal.

Debido a que seis es el producto de los dos primeros números primos y es adyacente a los dos siguientes, muchas fracciones senarias tienen representaciones simples. La tabla a continuación muestra representaciones fraccionarias y posicionales tanto en decimal como en senario, y tiene celdas coloreadas para indicar un cierto nivel de complejidad;células de color gris claroindicar un número racional con un ciclo repetitivo de longitud uno o dos,células de color gris oscuroLas celdas marcadas con color indican un ciclo repetitivo de más de dos dígitos, mientras que las celdas blancas sin color indican que no hay ningún ciclo repetitivo.

34 _senarios = 22 _decimales , en conteo de dedos senarios

Se puede decir que cada mano humana normal tiene seis posiciones inequívocas: un puño, un dedo extendido, dos, tres, cuatro y, finalmente, los cinco dedos extendidos.

Si se usa la mano derecha para representar una unidad (de 0 a 5) y la izquierda para representar los múltiplos de 6, entonces es posible que una persona represente los valores de cero a 55 _senarios (35 _decimales ) con sus dedos, en lugar de los diez habituales que se obtienen al contar con los dedos. Por ejemplo, si se extienden tres dedos de la mano izquierda y cuatro de la derecha, se representan 34 _{senarios . Esto es equivalente a} 3 × 6 + 4 , que es 22 _decimales .

Además, este método es la forma menos abstracta de contar con ambas manos que refleja el concepto de notación posicional , ya que el movimiento de una posición a la siguiente se realiza cambiando de una mano a otra. Si bien la mayoría de las culturas desarrolladas cuentan con los dedos hasta 5 de forma muy similar, más allá de 5 las culturas no occidentales se desvían de los métodos occidentales, como ocurre con los gestos numéricos chinos . Dado que el conteo senario con los dedos también se desvía solo más allá de 5, este método de conteo rivaliza con la simplicidad de los métodos de conteo tradicionales, un hecho que puede tener implicaciones para la enseñanza de la notación posicional a los estudiantes jóvenes.

La elección de la mano para los seises y la de las unidades depende de la preferencia de quien cuenta; sin embargo, desde la perspectiva de quien cuenta, usar la mano izquierda como dígito más significativo se correlaciona con la representación escrita del mismo número senario. Dar la vuelta a la mano que representa los seises puede ayudar a aclarar qué mano representa los seises y cuál las unidades. La desventaja del sistema senario, sin embargo, es que sin un acuerdo previo, dos personas no podrían utilizarlo, al no saber qué mano representa los seises y cuál las unidades, mientras que el sistema decimal (donde los números mayores de 5 se expresan con la palma abierta y dedos adicionales), al ser esencialmente un sistema unario , solo requiere que la otra persona cuente el número de dedos extendidos.

En el baloncesto de la NCAA , los números de uniforme de los jugadores están restringidos a números senarios de como máximo dos dígitos, para que los árbitros puedan señalar qué jugador cometió una infracción utilizando este sistema de conteo con los dedos. ^{[ 3 ]}

Los sistemas de conteo con los dedos más abstractos , como el chisanbop o el sistema binario de dedos , permiten contar hasta 99, 1023 o incluso más, dependiendo del método (aunque no necesariamente de naturaleza senaria). El monje e historiador inglés Beda , describió en el primer capítulo de su obra De temporum ratione (725), titulado " Tractatus de computo, vel loquela per gestum digitorum ", un sistema que permitía contar hasta 9999 con dos manos. ^{[ 4 ] [ 5 ]}

A pesar de la rareza de las culturas que agrupan grandes cantidades por 6, una revisión del desarrollo de los sistemas numéricos sugiere un umbral de numerosidad en 6 (posiblemente conceptualizado como "entero", "puño" o "más allá de cinco dedos" ^{[ 6 ]} ), siendo del 1 al 6 a menudo formas puras, y los numerales posteriores construidos o tomados prestados. ^{[ 7 ]}

Se informa que el idioma Ndom de Nueva Guinea Occidental , Indonesia , tiene numerales senarios. ^{[ 8 ] [ 9 ]} Mer significa 6, mer an thef significa 6 × 2 = 12, nif significa 36, ​​y nif thef significa 36 × 2 = 72.

Otro ejemplo de Papúa Nueva Guinea son las lenguas Yam . En estas lenguas, el conteo está conectado con el conteo ritualizado de ñames. Estas lenguas cuentan a partir de una base seis, empleando palabras para las potencias de seis; llegando hasta 6 ⁶ para algunas de las lenguas. Un ejemplo es Komnzo con los siguientes numerales: nibo (6 ¹ ), fta (6 ² [36]), taruba (6 ³ [216]), damno (6 ⁴ [1296]), wärämäkä (6 ⁵ [7776]), wi (6 ⁶ [46656]).

Se ha informado que algunas lenguas níger-congo utilizan un sistema de numeración senario, generalmente además de otro, como el decimal o el vigesimal . ^{[ 7 ]}

También se ha sospechado que el proto-urálico tenía numerales senarios, con un numeral para el 7 tomado prestado posteriormente, aunque la evidencia de construir numerales mayores (8 y 9) sustrayendo del diez sugiere que esto puede no ser así. ^{[ 7 ]}

Para algunos propósitos, la base senaria puede resultar demasiado pequeña. Esto se puede solucionar utilizando su base cuadrada, 36 (hexatrigesimal), ya que la conversión se facilita simplemente realizando las siguientes sustituciones:

Por lo tanto, el número en base 36 WIKI ₃₆ es igual al número senario 52303230 ₆ . En decimal, es 1,517,058.

La elección del 36 como base es conveniente, ya que los dígitos pueden representarse utilizando los números arábigos del 0 al 9 y las letras latinas de la A a la Z; esta elección es la base del esquema de codificación de base 36. El efecto de compresión que supone que 36 sea el cuadrado de 6 hace que muchos patrones y representaciones sean más cortos en base 36.

1 / 9 _{10 =} 0,04 6 ₌ 0,4 36

1 / 16 ₁₀ = 0,0213 ₆ = 0,29 ₃₆

1/5 10 = _0,16 = 0,736​​_​​​_​

1 / 7 ₁₀ = 0,05 6 = 0,5 ₃₆​_​

La especie alienígena conocida como Eridianos de la novela de ciencia ficción de Andy Weir, Proyecto Ave María, utiliza un sistema de numeración senario porque usan 6 dedos para contar. ^{[ 10 ]}

• Método Diceware para codificar valores en base 6 en contraseñas pronunciables.
• Esquema de codificación Base36
• El cifrado ADFGVX encripta texto en una serie de dígitos senarios.

• Recurso integral de base seis
• Dialéctica de base seis de Shack
• Conversión de base senaria
• Convertidor de base numérica (Sooeet)
• Calculadora
• Calendarios senatoriales, hora y fecha