Proceso de recolección del conmutador

En la teoría de grupos , una rama de las matemáticas , el proceso de recolección de conmutadores es un método para escribir un elemento de un grupo como un producto de generadores y sus conmutadores superiores ordenados de cierta manera. El proceso de recolección de conmutadores fue introducido por Philip Hall en 1934 ^{[ 1 ]} y articulado por Wilhelm Magnus en 1937 ^{[ 2 ].} A veces se le llama "proceso de recolección".

El proceso puede generalizarse para definir un subconjunto totalmente ordenado de un álgebra libre no asociativa, es decir, un magma libre ; este subconjunto se denomina conjunto de Hall . Los miembros del conjunto de Hall son árboles binarios ; estos pueden establecerse en correspondencia biunívoca con palabras, denominadas palabras de Hall ; las palabras de Lyndon constituyen un caso especial. Los conjuntos de Hall se utilizan para construir una base para un álgebra de Lie libre , de forma totalmente análoga al proceso de recolección de conmutadores. Las palabras de Hall también proporcionan una factorización única de monoides .

El proceso de recolección de conmutadores se suele enunciar para grupos libres , ya que un teorema similar se cumple para cualquier grupo escribiéndolo como un cociente de un grupo libre.

Supongamos que F ₁ es un grupo libre con generadores a ₁ ,  ..., a _m . Definimos la serie central descendente poniendo 

F _{n +1}  =  [ F _n , F ₁ ] 

Los conmutadores básicos son elementos de F ₁ definidos y ordenados de la siguiente manera:

• Los conmutadores básicos de peso 1 son los generadores a ₁ ,  ..., a _m . 
• Los conmutadores básicos de peso w  >  1 son los elementos [ x , y ] donde x e y son conmutadores básicos cuyos pesos suman w , de modo que x > y y si x = [ u , v ] para conmutadores básicos u y v entonces v ≤ y .        

Los conmutadores se ordenan de manera que x  > y si x tiene un peso mayor que el de y , y para conmutadores de cualquier peso fijo se elige algún orden total. 

Entonces F _n / F _{n +1} es un grupo abeliano libre finitamente generado con una base que consiste en conmutadores básicos de peso n . 

Entonces cualquier elemento de F se puede escribir como

${\displaystyle g=c_{1}^{n_{1}}c_{2}^{n_{2}}\cdots c_{k}^{n_{k}}c}$

donde los c _i son los conmutadores básicos de peso como máximo m ordenados, y c es un producto de conmutadores de peso mayor que m , y los n _i son enteros .

• Identidad Hall-Petresco
• factorización monoide

• Hall, Marshall (1959), La teoría de los grupos , Macmillan, MR 0103215 
• Huppert, B. (1967), Endliche Gruppen (en alemán), Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , págs. 90-93 , ISBN  978-3-540-03825-2, MR 0224703 , OCLC 527050